ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Математическая логика – современный вид формальной логики, т.е. науки, изучающей умозаключения с точки зрения их формального строения. Логика изучает правильные способы рассуждений – такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные предпосылки.

«Если все вороны черные, то все нечерные предметы не вороны». Данное высказывание несомненно истинно, и для того чтобы это утверждать, вообще не нужно знать что ворон – это птица. Или другой пример: «Все граждане России имеют право на образование. Иванов – гражданин России. Значит, он имеет право на образование».

Легко заметить, что эти примеры составлены по одной формальной схеме: «Все суть . есть . Следовательно, есть ». Содержание терминов , , для справедливости этих умозаключений безразлично.

Традиционная логика берет начало в древней Греции и Риме. Недаром ее называют Аристотелевой. До начала 19–го века формальная логика практически не выходила за рамки такого рода силлогических умозаключений.

Однако, начиная с работ Джона Буля (труд «Законы мысли») можно говорить о превращении ее в математическую логику. Особенности математической логики заключаются в ее математическом аппарате, в преимущественном внимании к умозаключениям, применяемым в самой математике.

В 1910 году появились первые работы, связанные с применением логики высказываний для описания переключательных цепей в телефонной связи. А в 1938–1940 годах, почти одновременно в СССР, США и Японии появились работы о применении математической логики в цифровой технике.

Современная математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и логику предикатов. Логика предикатов является охватывающей по отношению к логике высказываний (как алгебра к арифметике).

Изучать математическую логику можно, пользуясь двумя подходами (языками) – алгеброй логики и логическими исчислениями. Между основными понятиями этих языков формальной логике существует взаимно однозначное соответствие, т.е. они изоморфны. Это объясняется единством законов логики, лежащих в их основе. Далее, при изучении математической логики, будет использовать в основном язык алгебры логики, так как он чаще используется в технических приложениях.