Функциональные отношения

Отношение называется всюду (полностью) определенным, если (рис. 1.6a). В противном случае отношение частично определенное.

Отношение называется сюрьективным, если (рис. 1.6b).

Образом элемента в множество при отношении называется множество всех , соответствующих элементу (рис. 1.6с).

Прообразом элемента в множество при отношении называется множество всех , которым соответствует (рис. 1.6d).

Рис. 1.6.

Образом множества называется объединение образов всех элементов . Иначе .

Прообразом множества называется объединение прообразов всех элементов . Иначе .

Отношение называется функциональным (однозначным), или просто функцией, если образом любого элемента из области определения является единственный элемент из области значений .

Примеры.

1. Матрица задает функциональное отношение, если в любой строке содержится только одна единичка.

2. Матрица задает взаимнооднозначное отношение, если в любой строке и любом столбце содержится одна и только одна единичка.

3. Отношение функционально.

4. Отношение функционально. Но то же самое отношение, если и принадлежат множеству всех целых чисел (положительных и отрицательных) не является функциональным.

Отношение называется взаимно однозначным, если оно:

- всюду определено;

- сюрьективно;

- функционально;

- прообразом любого элемента является единственный элемент .

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными.

Множества, равномощные множеству вещественных чисел R, называются континуальными.