Решение систем линейных уравнений

В геодезии при уравнивании различных геодезических построений возникают так называемые нормальные уравнения, которые относятся к классу линейных уравнений вида

AX=B,

где A – квадратная симметричная матрица коэффициентов размера NxN, B – вектор свободных членов, X – вектор неизвестных.

Из общего курса линейной алгебры известно, что такая система линейных уравнений имеет единственное решение, если матрица A является невырожденной или, иначе, несингулярной, т.е. ее определитель не равен нулю. Такие матрицы называются еще хорошо обусловленными.

В MathCAD имеется целый ряд инструментов для решения хорошо обусловленных систем линейных уравнений. Рассмотрим эти инструменты по порядку.

Вариант 1 Непосредственное решение

Дана система линейных уравнений

AX=B

Для ее решения достаточно умножить левую и правую части уравнения на обратную матрицу A^-1. В результате получим

X= A^-1 B

Пример 1.

Вариант 2 Вычислительный блок given/find

Сформировать матрицу коэффициентов A, вектор свободных членов B и вектор начальных значений неизвестных либо записать систему уравнений в развернутом виде. В качестве начальных значений можно принять нулевой вектор. Затем записать:

given

AX=B

find(X)=

После этого в правой части появится вектор решения системы.

Следует обратить внимание на то, что при записи системы уравнений необходимо использовать знак равенства, который находится на панели логических операций либо использовать сочетание клавиш <Ctrl> +< =>.

Данный способ можно использовать для решения систем уравнений с хорошо обусловленной матрицей A. Это объясняется тем, что решение системы в данном случае производится методом итераций. И при хорошо обусловленной матрице коэффициентов итерации сходятся к единственному решению. В противном случае решение может не получится.

Пример 2.

Пример 3

Вариант 3 Использование встроенной функции lsolve

Дана система уравнений в матричном виде

A*B=X

Решение системы также может быть найдено в матричном виде, как

X:=A^-1B

Для этого может быть использована встроенная функция lsolve(A,B), где A – матрица коэффициентов системы линейных уравнений, B – вектор свободных членов.

Обращение к функции выглядит следующим образом

X:=lsolve(A,B).

Пример 4

Дана та же самая система линейных уравнений, как и в примере 3. Но для ее решения используем встроенную функцию lsolve.

Вариант 4 Использование встроенной функции rref

Пусть задана система линейных уравнений, которая в матричном виде имеет вид

A*B=X

Решение системы находится как и в варианте 3

X:=A^-1B

Однако решение производится с использованием встроенной функции rref. Для ее использования первоначально необходимо сформировать расширенную матрицу C, сделав вектор B четвертым столбцом матрицы A с помощью функции augment.

C:=augment(A,B)

Затем с помощью функции rref вычислить вспомогательную матрицу C1

C1:=rref(C)

После этого выбрать из C1 вектор-решение X

X:=C1^<4>,

т.е. решение –это четвертый столбец матрицы C1.