5.На плоскости кроме прямоугольной декартовой системы координат используются и другие. Одной из наиболее часто применяемой является полярная система координат, в которой положение точки задаётся также двумя величинами. Они представляют собой длину r радиус-вектора, проведенного из начала координат в заданную точку, и угол наклона j этого вектора относительно положительного направления горизонтальной оси координат. Многие "замечательные" плоские кривые легче и проще задавать именно в полярной системе координат. Например, окружность радиуса a с центром в начале координат в полярной системе координат задается простым уравнением r=a, тогда как в декартовой системе координат эта же окружность задается уравнением в неявном виде .
Для отображения графика функции, заданной в полярной системе координат, в пакете plots существует функция polarplot(). Её синтаксис похож на синтаксис команды plot() за одним исключением – не задаётся третий параметр, ограничивающий диапазон изменения значений, в данном случае длины радиус-вектора:
polarplot(r, phi=диапазон, опции).
Параметр r – это выражение или функция, зависящие от независимой переменной phi, интерпретируемой как угол поворота радиус-вектора относительно горизонтальной оси: , или . Диапазон изменения независимой переменной может отсутствовать, тогда используется диапазон изменения по умолчанию -Pi..Pi. остальные параметры представляют собой такие же опции, что и в функции plot(). Использование команды построения окружности радиуса 5 в полярной системе координат демонстрируется в следующем примере.
Пример. График функции в полярной системе координат
В некоторых версиях MAPLE вместо обещанной окружности мы увидим эллипс. Дело в том, что по умолчанию во всех графических командах используется значение UNCONSTRAINED параметра scaling. А это означает, что график растягивается по осям таким образом, чтобы полностью заполнить отводимое под него пространство на рабочем листе, что приводит к несоответствию единиц измерения по горизонтальной и вертикальной осям. Подобное явление характерно для вывода всех графических команд Maple. Исправить подобный дефект можно с помощью команд интерфейса пользователя или при отображении кривой в соответствующей команде, задав опцию scaling=CONSTRAINED:
Команда polarplot() также позволяет отображать графики в полярной системе координат. Кривую следует задать в виде
polarplot(r(phi),phi=phi1..phi2, options).
Здесьr(phi) – выражение полярного радиуса r через полярный угол phi, phi=phi1..phi2 – диапазон изменения полярного угла, options – опции. Среди опций следует отметить axes, что означает наличие или отсутствие осей. Чтобы осей не было, следует положить axes=none.
Пример. Прямая в полярной системе координат
Здесь греческую букву f следует задавать латинскими буквами: phi.
Замечание.Для отображения командой polarplot() на одном графике нескольких кривых, их следует задавать, как и в случае с командой plot(), в виде списка.
ЗАДАНИЯ. 1. Нарисуйте лемнискаты Бернулли и на разных чертежах. Параметр а заранее положите равным двум.
2. Нарисуйте 5 роз при значениях п от 2 до 6. Параметр а заранее положите равным единице.
3. Две окружности изобразите на одном графике разным цветом.
4. Нарисуйте прямые в полярной системе координат при значениях , . Диапазон изменения переменной j задайте .
Пример.
>
5. Постройте кардиоиду .
6. Начертите улитки Паскаля .
Пример.
7. Нарисуйте спираль Архимеда. Диапазон полярного угла задайте от 0 до 6p.
6.В Maple командой coordplot() можно начертить «линии уровня» плоских систем координат, поддерживаемых командой plot() через опцию coords. Для полярной системы координат это означает, что на графике будут изображены линии, соответствующие нескольким постоянным значениям координат ρ и φ. Для имеем окружности различных радиусов, для имеем прямые линии под разными углами. В качестве параметра этой функции передается название системы координат (см. опцию coords в табл.1):
7.Бывает так, что искомая функция, график которой надо отобразить, представляется только в неявном виде f(x,y)=0 и никакими ухищрениями её нельзя представить в явной форме ни в одной из известных систем координат. В таком случае следует воспользоваться командой implicitplot(), которая специально разработана для отображения неявных функций:
implicitplot(expr, x=a..b, y=c..d, опции);
implicitplot(f, a..b, c..d, опции);
Здесь в первой форме вызова команды параметр expr представляет уравнение, зависящее от двух переменных x и y, а во второй форме f представляет уравнение, и в левую, и в правую части которого входят только процедуры-функции и операторы от двух переменных. Дополнительно ко всем известным опциям команды plot() можно задать опцию grid=[m,n], которая определяет сетку из m´n точек, на которой вычерчивается кривая. При увеличении количества точек в сетке кривая отображается более гладкой без угловых точек. По умолчанию используется сетка 25´25 точек. Опцией coords можно задавать график в разных системах координат, по умолчанию используется декартова прямоугольная система координат.
Пример. График неявно заданной функции
> implicitplot(x^2+y^3-8=0, x=-10..10, y=-8..8,
color=black, grid=[60,60], thickness=2);
Замечание.Увеличение числа точек в сетке, на которой рассчитывается неявно заданная кривая, приводит к существенному увеличению времени расчета её графика.
ЗАДАНИЯ. 1. Нарисовать эллипсы , предварительно задав полуоси а и b. В первом случае сделайте , во втором , в третьем .
2. Нарисовать гиперболу с выводом заданных а и b. На том же графике пунктиром изобразить асимптоты . Точками изобразить прямоугольник гиперболы.
3. Нарисовать параболы с их директрисами. Параметр р принять равным 4.
4. Получите область, ограниченную прямыми. Во втором примере число π задавать как . Сделайте свой вариант. Если область не получается, внесите изменения в уравнения.
4. Задайте уравнение двух любых прямых в отрезках и постройте их.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
10.Команда polygonplot() строит на плоскости один или несколько многоугольников, заданных своими вершинами. Каждый многоугольник задается в виде списка координат его вершин, представленных в форме двухэлементных списков. В случае отображения нескольких многоугольников они задаются либо списком, либо множеством.
Пример 9. Отображение многоугольников
> one_poly := [[0.5,0],[0.5,1],[1,1] ,[1,0]];
> ngon := n -> [seq([cos(2*Pi*i/n), sin(2*Pi*i/n) ], i = 1..n)];
ЗАДАНИЕ. Построить произвольные четырёхугольник и пятиугольник. С помощью процедуры ngon( ) построить правильные многоугольники разного цвета с числом сторон от 3 до 8.
Для совмещения на одном рисунке примера 13 выводов нескольких графических команд использована команда display(). Переменным t1, t2, t3, t4, f присваиваются значения графиков.
ЗАДАНИЯ. 1. Получить отображение, заданное приведёнными выше командами.
2. Написать команды для получения отображения, показанного на рисунке.
3. Составить другие тексты и отобразить их на рисунке.
.
, или 
. Диапазон изменения независимой переменной может отсутствовать, тогда используется диапазон изменения по умолчанию -Pi..Pi. остальные параметры представляют собой такие же опции, что и в функции plot(). Использование команды построения окружности радиуса 5 в полярной системе координат демонстрируется в следующем примере.
и 
на разных чертежах. Параметр а заранее положите равным двум.
при значениях п от 2 до 6. Параметр а заранее положите равным единице.
изобразите на одном графике разным цветом.
при значениях 
, 
. Диапазон изменения переменной j задайте 
.
.
.
имеем окружности различных радиусов, для 
имеем прямые линии под разными углами. В качестве параметра этой функции передается название системы координат (см. опцию coords в табл.1):
, предварительно задав полуоси а и b. В первом случае сделайте 
, во втором 
, в третьем 
.
с выводом заданных а и b. На том же графике пунктиром изобразить асимптоты 
. Точками изобразить прямоугольник гиперболы.
с их директрисами. Параметр р принять равным 4.
. Сделайте свой вариант. Если область не получается, внесите изменения в уравнения.
