2. Добавить к матрице А одну строчку и один столбец, пользуясь кнопкой «Insert», расположенной в диалоговом окне «Insert Matrix».
3. Умножая на матрицу специального вида, сформировать матрицу-столбец, соответственно равную j-му столбцу матрицы A (j = 1, 3, 5).
4. Умножая на матрицу специального вида, сформировать матрицу-строку, соответственно равную i-ой строке матрицы A (i = 3, 4, 5).
5. Получить новую матрицу из матрицы А перестановкой местами 1 и 3 строк.
6. Получить новую матрицу из матрицы А перестановкой местами 2 и 4 столбцов.
7. Пользуясь матрицей специального вида, найти сумму элементов 3-го столбца матрицы А.
8. Пользуясь матрицей специального вида, найти сумму элементов 4-ой строки матрицы А.
9. Вычислить определитель матрицы А разложением по 1 –ому столбцу.
10. Вычислить определитель матрицы А разложением по 5 –ой строке.
Порядок выполнения работы
1. Загрузить систему Mathcad.
2. Познакомиться с методическим указанием.
3. Выполнить задание.
4. Подготовить отчет. В отчет включить разделы: тема, ход работы, вывод.
5. Сдать работу преподавателю.
Методические указания
Известно, что в результате умножении матрицы на вектор получается вектор. Причем, каждый i –ый элемент этого вектора-результата представляет собой сумму попарных произведений соответствующих элементов i –ой строки матрицы на элементы вектора-сомножителя. Очевидно, если в векторе, на который умножается матрица, все элементы равны нулю, а один элемент равен единице, то результатом такого произведения будет число, соответствующее тому элементу i –ой строки матрицы, где векторным сомножителем будет единица. Такой вывод можно использовать для выделения (формирования) из матрицы нужного столбца. На рис.1 (а)-(б) показаны примеры выделения первого и четвертого столбцов из матрицы А.
Аналогичным образом можно получить вектор-строку из матрицы. Для этого достаточно сформировать вспомогательный вектор (рис.1 (с)), у которого все компоненты равны нулю, а одна компонента, номер которой соответствует номеру выделяемой строки из матрицы, равна единице. Если этот вектор умножить слева на матрицу, то в результате будет получена нужная строка.
Такой прием можно использовать для перестановки строк и столбцов матрицы, только для этого потребуется уже вспомогательная матрица, состоящая из векторов-столбцов (векторов-строк), место единичных элементы которых соответствуют тому порядку, который нужно иметь в результате преобразования матрицы (рис.1 (ж)-(з)).
Рассуждая, таким образом, можно с помощью вспомогательного вектора с единичными компонентами получить вектор, компоненты которого будут равны сумме строк (столбцов) матрицы (рис.1 (д)), а также суммы отдельно выделенного столбика (строчки) (рис.1 (г)-(е)).
(а)
Формирование матрицы А, матриц В1 и В2 из одного столбика, в которых единичный элемент соответствует выделяемому столбику (строчке).
(б)
Получение из матрицы А 1-го и 4-го столбцов
(в)
Выделение первой строки матрицы. Вектор-строка здесь получена транспонированием вектора-столбца В1.
(г)
Вычисление суммы элементов 4-го столбца
(д)
Вычисления вектора – сумм элементов в столбцах матрицы
(е)
Вычисление суммы элементов 4-ой строки
(ж)
Перестановка первой и второй строк матрицы. Во вспомогательной матрице местоположение единиц в строках соответствуют нужному порядку для выбора.
(з)
Перестановка первого и второго столбцов матрицы.
Рис.1. Примеры матричных преобразований с использованием вспомогательных матриц специального вида
Определитель матрицы можно вычислить, пользуясь алгебраическими дополнениями (определитель равен алгебраической сумме парных произведений элементов строки (столбца) на его алгебраическое дополнение).
Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, j - номер столбца. Минором называется определитель, получаемый из исходной матрицы, вычеркиванием i – ой строки, j - го столбца. Следует отметить, что нумерация строк и столбцов в этом случае идет от единицы.
Последовательность действий, предназначенных для вычисления определителя с использованием алгебраических дополнений, приведена на рис.2. В примере разложение производится по первой строчке.
Определение системной переменной, задающей индексацию от 1
Формирование исходной матрицы
Выделение минора вычеркиванием первой строчки и первого столбца
Выделение минора вычеркиванием первой строчки и второго столбца
Выделение минора вычеркиванием первой строчки и третьего столбца
Вычисление детерминантов для выделенных миноров
Вычисление определителя
Проверка правильности
Вывод: совпадение результатов дает основания считать, что расчеты произведены правильно
Контрольные вопросы
1. Как формируется вспомогательная матрица для выделения столбца из матрицы?
2. Как формируется вспомогательная матрица для выделения строки из матрицы?
3. Как сформировать вспомогательную матрицу для перестановки строк? Столбцов?
4. Назначение системной переменной ORIGIN?
5. Как получить сумму элементов заданной строки? Столбца?
6. Как из матрицы получить вектор – столбец, элементы которой будут равны сумме элементов строк?
