Задача 2. Изобразить на графике приблизительную форму электронных облаков в атомах.

Анализ. По современным представлениям электронные уровни в атоме определяются четырьмя квантовыми числами. Форма электронного облака определяется двумя из этих чисел: l определяет тип орбитали (значения 0-3 соответствуют s-, p-, d-, f-орбиталям); числ m определяет магнитный момент электрона и может изменяться в диапазоне от – l до l.При m=0 форма электронного облака определяется на основе многочленов Лежандра первого рода:

где l – cтепень многочлена. В этом случае . Параметрическое задание соответствующей поверхности имеет следующий вид:

Углы изменяются в диапазоне от 0 до 2 .

1. Запустите программу MathCad.

2. Определите переменную l, которая укажет тип орбитали: l:=3.

3. Построение поверхности будем производить по точкам. Задайте два диапазона, которые будут определять изменение параметров q, f, задающих поверхность. Удобно определить границы диапазона в целых числах (через точку с запятой, на экране изображаются две точки), а затем произвести перемасштабирование на отрезок [0; 2p]. Для задания границ диапазона воспользуйтесь кнопкой «Задать диапазон дискретной величины» на панели инструментов «Арифметика».

i:=1..100 j:=1..100

4. Определите двумерные матрицы, определяющие значения координат х, у и z в зависимости от значения параметров. Используйте названия переменных X0, Y0, Z0. Т. е. введите следующие формулы:

- для ввода производной воспользуйтесь шаблоном производной на панели «Операторы математического анализа»;

;

.

5. Дайте команду Insert > Graph > Surface Plot (Вставка ^ График > Поверхность) или воспользуйтесь кнопкой Surface Plot (Поверхность) на панели инструментов Graph (График).

6. В появившейся области графика вместо заполнителя укажите имена отображаемых матриц через запятую, заключив все их в скобки: (Х0, Y0, Z0).

7. Чтобы изменить формат построенного графика, дважды щелкните на его области. Откроется диалоговое окно 3-D Plot Format (Формат трехмерного графика).

8. На вкладке General (Общие) установите флажок Equal Scales (Равный масштаб), чтобы обеспечить одинаковый масштаб по осям координат.

9. На вкладке Appearance (Оформление) установите переключатель Fill Surface (Заливка поверхности), чтобы обеспечить заливку построенной поверхности.

10. На вкладке Lighting (Подсветка) включите режим освещения поверхности. Установите флажок Enable Lighting (Включите подсветку), отключите все источники света, кроме первого.

11. На панели Light Location (Размещение источника) задайте координаты источника света. Используйте кнопку Применить, чтобы сразу видеть последствия сделанных настроек. По окончании настройки закройте диалоговое окно щелчком на кнопке ОК.

Рисунок 2 – График поверхности электронного облака в атомах

12. Путем протягивания мыши в области графика измените направление осей координат, чтобы изображение было видно наиболее отчетливо.

13. Изменяя значение l, можно увидеть форму электронных облаков для разных орбиталей, в том числе и не встречающихся в природе.