Правила перевода десятичных чисел в другие системы счисления

1. Чтобы перевести целое десятичное число в двоичную или другую СС, необходимо данное число разделить на основание новой СС, полученное частное снова разделить на это основание и т.д. до тех пор, пока частное не будет меньше делителя. Последнее частное дает старшую цифру числа в новой СС, остальными цифрами будут остатки от деления, взятые в порядке, обратном их получению.

2. Чтобы перевести дробную часть десятичного числа в двоичную или другую СС, необходимо данную дробную часть последовательно умножать на основание новой системы счисления. Умножаются только дробные части числа. Дробь в новой системе запишется в виде целых частей получаемых произведений, начиная с первого сомножителя. Перевод дробных чисел осуществляется с определенной погрешностью.

86,31 ₍₁₀₎ → 126,23 ₍₈₎

86 (10) → 126 (8) 86∟8 80 10∟8 6 8 1 2

0,31 (10) → 0,23 (8) 0, 31 * 8 2, 48 * 8 3, 84

3. Для более быстрого перевода чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления используют таблицу соответствия(таблица 2).

Чтобы перевести двоичное число в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему, необходимо разбить его на группы по три (четыре) разряда, начиная от запятой в разные стороны, и каждой группе поставить в соответствие восьмеричную
(шестнадцатеричную) цифру по таблице соответствия.

86,31 ₍₁₀₎ → 126,23 ₍₈₎ → 1010110,010011 ₍₂₎ → 56,4С ₍₁₆₎

4. Чтобы перевести число из двоичной, восьмеричной или другой СС в десятичную, необходимо данное число разложить в ряд по степеням основания системы счисления.

1010110,010011₍₂₎→1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2²+1*2¹+0*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+

6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

+0*2^-3 +0*2^-4 +1*2^-5 +1*2^-6=64+0+16+0+4+2+0+0+0,25+0+0,03+0,02=86,3₍₁₀₎

Арифметические действия в двоичной системе выполняются так же, как и в десятичной. Но если в десятичной СС перенос и заём осуществляется по десять единиц, то в двоичной − по две единицы. В таблице 1 представлены правила сложения и вычитания в двоичной СС.

1) При сложении в двоичной системе СС двух единиц в данном разряде
будет Ø и появится перенос единицы в старший разряд.

2) При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1. Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.

Таблица 1 −Арифметика в двоичной системе счисления

Таблица 2 −Таблица соответствия СС

ПРИМЕР:

Даны два числа: 437,49 и 19,63

1)Перевод десятичного числа в восьмеричную систему счисления:

437,49
437∟8 432 54∟8 5 48 6 6	0, 49 * 8 3, 92 * 8 7, 36	437, 49 (10) → 665, 37 (8)
19,63
19∟8 16 2	0, 63 * 8 5, 04 * 8 0, 32	19, 63 (10) → 23, 50 (8)

2)Перевод полученных чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную, используя таблицу соответствия(таблица 2):

437, 49 ₍₁₀₎ → 665, 37 ₍₈₎ → 110110101, 011111 ₍₂₎ → 1В5, 7С ₍₁₆₎

19, 63 ₍₁₀₎ → 23, 50 ₍₈₎ → 10011, 101000 ₍₂₎ → 13, А ₍₁₆₎

3) Арифметические действия в двоичной системе счисления:

4) Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную:

5) Проверка с полученными результатами:

Вывод:

В результате проверки получена погрешность в дробной части на 0,01. Погрешность уменьшается от увеличения количества действий умножения в дробной части при переводе чисел из десятичной в другую систему счисления.