Частичный порядок можно естественным образом ввести в любой решётке, но при этом не всякое подмножество носителя решётки обязано иметь верхнюю и нижнюю грани. Решётка называется полной, если любое подмножество имеет верхнюю и нижнюю грани (имеет супремум и инфимум).
Полная решётка L является ограниченной: 0 = inf L, 1 = sup L. Кроме того, ясно, что полная решётка является линейно полным частично упорядоченным множеством. Свойство полноты решетки является более сильным, чем свойство линейной полноты в частично упорядоченных множествах, поэтому в полной решётке справедлива теорема о наименьшей неподвижной точке при более слабом предположении о свойствах функции.
ТЕОРЕМА Если L – полная решетка, а функция f : L ® L – монотонна, то функция f имеет наименьшую неподвижную точку.
Доказательство Рассмотрим множество A := {xÎL | f(x) 
x} и элемент a =inf A, который существует по условию теоремы. Имеем: "xÎA (a x) и значит
"xÎA (f(a) f(x) x), следовательно, f(a) – нижняя граница для множества A и
f(a) a. Далее, f(f(a)) f(a), и значит f(a)ÎA,откуда по определению элемента a имеем a f(a) и по антисимметричности отношения заключаем, что f(a)=a. Таким образом, a – неподвижная точка функции f. Пусть теперь b – любая неподвижная точка функции f, то есть f(b)=b. Естественный частичный порядок в решетке рефлексивен (см. теорему 1 в 2.5.4), а значит f(b) b. Тем самым bÎA и значит a b.
