Нечеткие множества.

Пусть Е – универсальное множество, x – элемент E, а Р – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяется как множество упорядоченных пар A={m_A(х) /х}, где m_A(х) – характеристическая функция, прини-мающая значение 1, если x удовлетворяет свойству Р, и 0 – в про-тивном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа “да-нет” относительно свойства Р. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A= {m_A(х) /х}, где m_A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M= [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M= {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E= {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M= [0,1]; A – нечеткое множество, для которого m_A(x₁)=0,3; m_A(x₂)=0; m_A(x₃)=1; m_A(x₄)=0,5; m_A(x₅)=0,9. Тогда A можно представить в виде:
A = {0,3 / x₁; 0 / x₂; 1 / x₃; 0,5 / x₄; 0,9 / x₅}или
A=0,3/x₁ È 0/x₂ È 1/x₃ È 0,5/x₄ È 0,9/x₅, или

Примеры нечетких множеств

1. Пусть E={0, 1, 2, .., 10}, M =[0, 1]. Нечеткое множество “несколько” можно определить следующим образом: “несколько”= 0,5/3 È 0,8/4 È 1/5 È 1/6 È 0,8/7 È 0,5/8; его характеристики:высота= 1, носитель={3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода={3, 8}.

2. Пусть E = {1, 2, 3, ..., 100} и соответствует понятию “возраст“, тогда нечеткое множество “молодой”, может быть определено с помощью функции принадлежности вида

Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на уни-версальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE m_A(x) > m_B(x). Обозначение: A Ì B.

Равенство. A и B равны, если "xÎE m_A(x) = m_B(x). Обозначение: A = B.

Дополнение. Пусть M = [0, 1], A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
"xÎE m_A(x) = 1 – m_B(x). Обозначение: B = или A = . Очевид-но, что . (Дополнение определено для M = [0,1], но оче-видно, его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение. A Ç B – наибольшее нечеткое подмно-жество, содержащееся одновременно в A и B;

m_{A Ç B}(x) = min{m_A(x), m_B(x)}.

Объединение.А È В – наименьшее нечеткое подмно-жество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

m_{AÈ B}(x) = max {(m_A(x), m_B(x)}.

Разность. А \B= А Ç с функцией принадлежности:

m_A\B(x) = min { m_A(x), 1 – m_B(x)}.

Например.

Пусть: A = 0,4/ x₁ È 0,2/ x₂ È 0/ x₃ È 1/ x₄;

B = 0,7/ x₁ È 0,9/ x₂ È 0,1/ x₃ È1/ x₄;
C = 0,1/ x₁ È 1/ x₂ È 0,2/ x₃ È 0,9/ x₄.

Здесь:

1. A Ì B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.

2. A ¹ B ¹ C.

3. = 0,6/ x₁ È 0,8/ x₂ È 1/ x₃ È 0/ x₄;
= 0,3/ x₁ È 0,1/ x₂ È 0,9/ x₃ È 0/ x₄.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Пусть: A = 0,4/ x₁ È 0,2/ x₂ È 0/ x₃ È 1/ x₄;

B = 0,7/ x₁ È 0,9/ x₂ È 0,1/ x₃ È1/ x₄;
C = 0,1/ x₁ È 1/ x₂ È 0,2/ x₃ È 0,9/ x₄.

Построить множества: а) AÇB;

б) АÈВ;

в) А \ В; В \ А.

2. Для универсального множества E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, Феррари} прямым методом построить нечеткие множества: а) “скоростные”;

б) “средние”;

в) “тихоходные”.

3. Пусть E = {1, 2, 3, ..., 100} и соответствует понятию “возраст“. Прямым методом построить нечеткие множества

а) “пожилой”;

б) “пора замуж”;

в) “призывник”,

и построить аппроксимирующую формулу для соответсивующих функций принадлежности.

4. В условиях задачи 2 построить нечеткие множества а) – в) косвенным методом на основе парных сравнений элементов Е.