Рассмотренные примеры и интуитивное представление о том, что такое вероятность, подсказывают, что нам предстоит ввести способ «измерения» вероятности событий из некоторой совокупности событий, определяемых конкретной задачей. Каждая задача о вычислении вероятности имеет в основе некоторый случайный эксперимент, итогом которого является одно из нескольких возможных элементарных событий. Правильное описание этих событий и придание этим событиям вероятности – важный шаг на пути решения задачи. Перейдем к математическому описанию элементарных событий.
Предполагается, что имеется некоторое множество объектов произвольной природы, называемое множеством элементарных событий или пространством элементарных событий. При помощинекоторого специального механизма случайного выбора, или рандомизации (от английского слова «random», что означает «случайный»), происходит (или может произойти) случайная реализация элементарных событий. Механизм случайного выбора может быть известен, но часто лишь предполагают, что такой механизм существует. Для облегчения понимания приведем несколько примеров пространств элементарных событий и механизмов случайного выбора.
1. Бросание монеты. Выпадение герба кодируем цифрой «1», выпадение цифры нулем («0»). Таким образом, имеется всего два собственных элементарных события «1» и «0». Механизм случайного выбора – это само бросание монеты. Предполагается, что мы организуем бросание таким образом, что шансы выпадения «1» и «0» равны.
2. Бросание двух монет. Имеется 4 элементарных события «0, 0»,«0, 1», «1, 0» и «1, 1». Механизм случайного выбора это – бросание двух монет.
3. Бросается n монет. Имеется элементарных событий, состоящих из всевозможных наборов нулей и единиц длиной n. Механизм случайного выбора – это бросание n монет.
4. Бросается игральная кость. Имеется 6 элементарных событий «1», …, «6». Механизм случайного выбора – это само бросание кости.
5. Бросается 2 игральные кости. Имеется 36 элементарных событий – «1, 1», …, «6, 6». Механизм случайного выбора – бросание 2 костей.
6. Бросается n игральных костей. Имеется элементарных событий, состоящих из всевозможных наборов цифр от 1 до 6 длиной n. Механизм случайного выбора – бросание n костей.
7. Карточки в количестве n штук с числами от 1 до n случайным образом извлекаются из корзины. Элементарным событием является набор чисел, состоящий из чисел от 1 до n. Число элементарных событий равно соответствующему числу перестановок, т. е. . Механизм случайного выбора – процедура извлечения карточек.
8. Из хорошо перемешанной колоды из 36 карт вынимают одну карту. Элементарное событие – это выбранная карта. Механизм случайного выбора представляет собой процедуру перемешивания карт.
9. В барабане находится n шаров. При длительном вращении барабана шары перемешиваются, после чего один из них попадает в лунку. Элементарные события – выбранные шары. Механизм случайного выбора – перемешивание с помощью барабана.
10. Имеется прямоугольник, разбитый на клетки. Частица передвигается только по сторонам клеток, так, что каждую секунду она смещается либо на единицу вправо, либо на единицу вверх с равными вероятностями. В этой задаче механизм случайного выбора не указан, но легко реализуется, причем различными способами. Например, каждую секунду можно бросать симметричную монету и передвигать частицу вправо, если выпал «герб», и на единицу вверх, если выпала цифра.
В рассмотренных примерах с помощью механизма случайного выбора может реализоваться лишь конечное число различных элементарных событий. В большинстве вероятностных задач число таких событий бесконечно. Примерами таких задач являются: 1) бросание монеты до первого появления герба, 2) «случайный» выбор точки из интервала [0, 1], игра в карты до первой победы.
Теперь мы в состоянии дать определение события.
Событие в теории вероятностей – это множество, состоящее из элементарных событий.
События обычно имеют свои словесные описания. Например, при бросании двух игральных костей можно рассматривать событие A, состоящее в суммарном выпадении четного числа очков, а при вытаскивании игральной карты из колоды событием является выпадение карты бубновой масти. Все эти события состоят из элементарных событий. Так, при бросании играль-ных костей событие A состоит из элементарных событий {1, 1}, {1, 3}, {1, 5},
Достоверным событием называется событие, состоящее из всех элементарных событий.
Достоверное событие происходит всегда, поскольку в результате случайного выбора какое-то элементарное событие всегда реализуется. Обозначим достоверное событие буквой .
Невозможным событием называется событие, которое не может произойти никогда.
Обозначим его . Оно представляет собой пустое множество элементарных событий.
Противоположным событию событием называется событие , состоящее в том, что событие не произошло.
состоит из элементарных событий, не входящих в А. Противоположным для достоверного события является невозможное событие.
Суммой (объединением) событий А и В называетсясобытие , состоящее в том, что из двух событий и происходит по крайней мере одно (либо , либо , либо и вместе).
Этому событию соответствует множество элементарных событий А В. Поэтому иногда мы будем использовать знак объединения, вместо знака суммирования.
Пример. По мишени стреляют 3 раза. События А, В, С – попадание при 1-м, 2-м и 3-м выстрелах соответственно. Сумма событий А, В и C означает хотя бы одно попадание.
Произведением (пересечением) событий А и В называется событие , состоящее в том, что события и происходят одновременно.
Этому событию соответствует множество элементарных событий . Поэтому,иногда мы будем использовать знак пересечения, вместо знака произведения.
Пример. По мишени стреляют 3 раза. События А, В, С – попадание при 1-м, 2-м и 3-м выстрелах соответственно. Произведение событий А, В и С означает все три попадания.
Определения суммы и произведения, данные для 2-х событий, легко распространяются на случай нескольких событий.
Суммой n событий называется событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из исходных событий.
Произведением n событий называется событие, состоящее в том, что одновременно произошли все исходные события.
Эти определения соответствуют операциям объединения и пересечения соответствующих множеств элементарных событий.
Разностью событий А и В называется событие которое состоит в том, что происходит событие и не происходит .
В разность входят элементарные события из A, не входящие в B ().
Пример. По мишени стреляют два раза. События А и В – попадание при 1-м, и 2-м выстрелах, соответственно. Разность событий А и В – это событие, состоящее в том, что в мишень попали в первый раз и промазали во второй.
Мы говорим, чтоиз события A следует событие B, если множество элементарных исходов, составляющее событие A, входит в B, т. е.
Приведем полезные при решении задач правила де Моргана.
1. противоположное событие к сумме событий есть произведение событий противоположных исходным событиям.
2. противоположное событие к произведению событий есть сумма событий противоположных исходным событиям.
Комментарий.Пусть событие A состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий . Тогда событие, противоположное к A, состоит в том, что ни одно из них не произошло.
Задача 14. По мишени произведено 3 выстрела. Событие означает, что произошло попадание при i-м выстреле ( ).
Выразить события, заданные словесным описанием в левом столбце таблицы, формулами, оперирующими событиями . Правый столбец таблицы содержит ответы (требуемые формулы).
A – все три попадания
B – все три промаха
C – хотя бы одно попадание
D – хотя бы один промах
E – не меньше двух попаданий
F – не больше одного попадания
+
G – возможно попадание, но не раньше, чем при третьем выстреле
нулем («0»). Таким образом, имеется всего два собственных элементарных события «1» и «0». Механизм случайного выбора – это само бросание монеты. Предполагается, что мы организуем бросание таким образом, что шансы выпадения «1» и «0» равны.
элементарных событий, состоящих из всевозможных наборов нулей и единиц длиной n. Механизм случайного выбора – это бросание n монет.
элементарных событий, состоящих из всевозможных наборов цифр от 1 до 6 длиной n. Механизм случайного выбора – бросание n костей.
. Механизм случайного выбора – процедура извлечения карточек.
.
. Оно представляет собой пустое множество элементарных событий.
событием называется событие 
, состоящее в том, что событие 
не произошло.
, состоящее в том, что из двух событий 
происходит по крайней мере одно (либо 
В. Поэтому иногда мы будем использовать знак объединения, вместо знака суммирования.
, состоящее в том, что события 
. Поэтому,иногда мы будем использовать знак пересечения, вместо знака произведения.
которое состоит в том, что происходит событие 
).
. Тогда событие, противоположное к A, состоит в том, что ни одно из них не произошло.
означает, что произошло попадание при i-м выстреле ( 
).
+ 
