Элементы теории множеств

Задание 1.1. Составить все подмножества для A = {3, 6, 9}.

Решение. Их восемь: Æ, {3}, {6}, {9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3, 6, 9}.

Задание 1.2. Найти объединение, пересечение и обе разности множеств A = {12, 15, 18} и B = {12, 14, 16, 18}.

Решение. AÈB = {12, 14, 15, 16, 18}, AÇB = {12, 18}, A \ B ={15}, В \ А ={14, 16}.

Задание 1.3. Равны ли множества А и В, если А = {Æ}, В = Æ ?

Решение. Множество А содержит один элемент (этот элемент − пустое множество), а в множестве В элементы отсутствуют; поэтому А ¹ В.

Задание 1.4. Существуют ли множества А, В, С такие, что для них выполняется набор условий (если “да”, то привести пример таких множеств): АÈВ = В, АÇС = Æ, С Ì В ?

Решение. Существуют. Например, А = {1, 5} В = {1, 2, 4, 5, 9} С = {4, 9}.

Задание 1.5. Проверить справедливость равенства для множеств А = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}: B ´ (A Ç C) = (B ´ A) \ (B ´ (A \ C)) .

Решение.

A Ç C = {1};

поэтому слева: B ´ (A Ç C) = {(2, 1), (3,1)};

B ´ A = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}; A \ C = {2}; B ´ (A \ C) = {(2, 2), (3, 2)};

поэтому справа: (B ´ A) \ (B ´ (A \ C)) = {(2, 1), (3, 1)}.

Задание 1.6. Пусть M − множество точек действительной плоскости. Какими свойствами обладают следующие бинарные отношения, заданные на множестве M:

а) Отношение “находиться на одинаковом расстоянии от начала координат”.

б). Отношение “расстояние между точками равно 5”.

Решение.

а) Отношение

· рефлексивное, т.к. для любой точки плоскости выполняется: aRa,

· симметричное, т.к. для любых двух точек плоскости из аRb следует bRa,

· транзитивное, т.к. из для любых трёх точек плоскости из аRb и bRc следует аRc.

б). Отношение симметричное. Рефлексивным оно не является, т.к., расстояние от точки до неё самой равно 0, а не 5. Транзитивным оно тоже не является: например, точка (4,2) находится на расстоянии 5 от точки (−1, 2), точка (−1, 2) находится на расстоянии 5 от точки (−6, 2), тогда как расстояние между точками (4,2) и (−6, 2) не равно 5.