Переключательные функции

Многие электронные устройства, такие как компьютеры, телефонные системы, системы управления движением функционируют на основе переключателей. Схематическое изображение переключателя приведено на рисунке а.

Когда переключатель “закрыт” (“включен”), электрический ток может проходить через него, когда он “открыт” (“выключен”), электрический ток через переключатель не проходит. Переключатель – это устройство двух состояний, одно состояние – “включен”, другое – “выключен”. Цепи, которые включают в себя один или несколько переключателей, называются цепями переключателей. Предположим, что цепь имеет переключатель А. Обозначим состояние переключателя переменной x и будем считать, что x=0, если А открыт, и x=1, если А закрыт.

Рассмотрим цепь, содержащую 2 переключателя А₁ и А₂, которые соединены последовательно (рис. б). Электрический ток проходит через данный участок цепи только в том случае, если оба ключа, А₁ и А₂, закрыты. Пусть переменные x₁ и x₂ описывают соответственно состояние А₁ и А₂. Рассмотрим функцию f(x₁,x₂), которая принимает значение 1 для значений x₁ и x₂, при которых электрический ток проходит по участку, и значение 0 когда ток не проходит. Легко видеть, что это y₂(x₁,x₂) - конъюнкция.

Два переключателя могут быть включены параллельно (рисунок в). Чтобы через такую цепь проходил ток, Û, чтобы, по крайней мере, 1 из переключателей был закрыт. Определяя переменные x₁ и x₂ и функцию g(x₁,x₂), как и в предыдущем случае, получим y₈(x₁,x₂) - дизъюнкцию.

Функции, которые описывают поведение цепи в соответствии с состоянием переключателей, называются переключательными функциями.

Для заданных n переключателей А₁, А₂,…, А_n, состояние которых определяется n переменными x₁,x₂,...,x_n (x_i принимает значение 0 или 1 для i=1,2,..., n), переключательная функция f:Bⁿ®B описывает поведение цепи для всех 2ⁿ возможных состояний переключателей. Очевидно, что переключательная функция может быть представлена булевым выражением и, следовательно, является булевой функцией.

Пример. Определим переключательную функцию для цепи, образованной системой переключателей, изображенной на рисунке.

Пусть переменные x₁, x₂, x₃, x₄ характеризуют состояние переключателей А₁, А₂, А₃, А₄ соответственно. Тогда искомая функция имеет вид: f(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁&x₄ Ú x₂ Ú x₃.