Отображением множества X во множество Y называется правило, по которому каждому элементу множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y.
Пример. Пусть X - это множество современных отечественных актёров кино, а Y - это множество современных отечественных кинофильмов. Актёру x ставится в соответствие фильм y, если актёр x снимался в фильме y. Один актёр мог сниматься в нескольких фильмах, и, наоборот, в одном фильме может быть занято несколько актёров.
Однозначным отображением j множества X во множество Y называется правило, по которому каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент измножества Y.
Пример. Пусть X - это множество студентов очного обучения г.Мурманска, а Y - это множество вузов г. Мурманска. Студенту x ставится в соответствие ВУЗ y, если студент x учится в вузе y. Очевидно, один студент учится только в одном вузе, тогда как в каждом вузе может учиться несколько студентов.
В дальнейшем речь пойдёт только об однозначных отображениях, поэтому слово “однозначное” применительно к отображению будем опускать. При отображении j соответствие между элементами xÎX и yÎY записывается равенством y=j(x), а самому отображению соответствует запись j: X®Y. Множество X есть область определения отображения, а Y - область его значений.
Если X={x1,x2,...,xn}, то отображение j: X®Y может быть представлено в виде двустрочной записи:
j = ,
где j(xi)ÎY, i=1,2,...,n.
Пример 1.4. Отображение j: X®Y, где X={1,2,3,4,5}, Y={a,b,c}, может быть задано так:
j = .
Два отображения j1: X1®Y1 и j2: X2®Y2равны, если они имеют одинаковые области определения: X1=X2, одинаковые области значений: Y1=Y2 и j1(x)= j2(x) для любого xÎX.
Множество j-1(y)={x/ y=j(x), xÎX}называется полным прообразом элемента y при отображении j.
Пример. Выпишем полные прообразы для каждого элемента из области значений в примере 1.4: j-1(a)={1,2,5}, j-1(b)={3}, j-1(c)={4}.
Отображение j: X®X множества X в себя называется преобразованием множества X.
Пример. Пусть X={0,1,2,3,4}, j(x)=(x+1) mod 3. Тогда двустрочная запись такого преобразования имеет вид:
j = .
Свойства отображений
1. Отображение j: X®Y называется сюръективным, если каждый элемент yÎY имеет хотя бы один прообраз при этом отображении. Иными словами, для любого yÎY найдётся такойэлемент xÎX, что y=j(x). Значит, для любого yÎY j-1(y) ¹Æ и мощность полного прообраза обязательно больше нуля: | j-1(y) | ³ 1.
Для конечных множеств X и Y сюръективность отображения означает, что мощность множества X не меньше мощности множества Y, т.е. |X| ³ |Y|.
Примеры.
а) В примере 1.4 j - сюръективное отображение.
б) Пусть множество Y - это множество благополучных (посещающих лекции и пишущих конспекты) студентов в группе, а множество X - это множество конспектов, написанных этими студентами за семестр. Отображение j: X®Y является сюръективным, так как каждый конспект имеет только одного “хозяина”, а каждый студент написал не менее одного конспекта.
2. Отображение j: X®Y называется инъективным, если для любого yÎY его полный прообраз содержит не более одного элемента, т.е. для любых x¹x1, x,x1ÎX, j(x)¹j(x1).В этом случаедля любого yÎY мощность его полного прообраза не больше единицы: | j-1(y) | £ 1.
Для конечных множеств X и Y инъективность отображения означает, что мощность множества X не больше мощности множества Y, т.е. |X| £ |Y|.
Примеры.
а) В примере 1.4 j - не инъективно ( |j-1(a)| = 3 > 1).
б) Отображение j1: {1, 2, 3}®{m, n, p, q} вида j1 = инъективно.
в) Пусть множество Y - это множество совершеннолетних законопослушных жителей г.Мурманска на 1 января 2001 года, а множество X - это множество выданных им водительских прав. Отображение j: X®Y является инъективным, так как у каждых водительских прав только один владелец, но не каждый гражданин имеет водительские права, а если имеет, то только одни права (в силу своей законопослушности).
3. Отображение j: X®Y называется биективным, если оно одновременно сюръективно и инъективно.
Из сюръективности следует, что | j-1(y) | ³ 1 для любого yÎY; из инъективности вытекает условие | j-1(y) | £ 1 для каждого yÎY. Следовательно, биективность отображения означает, что | j-1(y) | = 1 для любого yÎY, т.е. условие y=j(x) для каждого yÎY однозначно определяет единственное значение xÎX.
Примеры.
а) В примере 2.4 j не является биективным отображением, т.к. оно не инъективно.
б) Отображение : {1, 2, 3, 4}®{m, n, p, q} вида j1 = биективно.
в) Пусть множество Y - это множество студентов в МГТУ на 1 января 2001 года, а множество X - это множество зачётных книжек, выданных этим студентам. Отображение j: X®Y является биективным, так как у каждого студента имеется своя “зачётка”, причём только одна.
Биективное отображение j устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y. Когда X и Y конечны, это означает равенство их мощностей: |X| = |Y|. Этот факт, во-первых, позволяет установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих мощностей, а во-вторых, часто даёт возможность вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.
,
.
.
инъективно.
: {1, 2, 3, 4}®{m, n, p, q} вида j1 = 
биективно.