Вектор. Прямое произведение

Вектор -это упорядоченный набор элементов. Сказанное не следует считать определением вектора, поскольку тогда потребуется давать объяснения по поводу его синонима “упорядоченный набор”. Понятие “вектор”, как и понятие “множество”, является одним из неопределяемых понятий математики. Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора.

В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать. Векторы длины 2 часто называют упорядоченными парами (или просто парами), векторы длины 3 - тройками и т.д. Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и их соответствующие координаты равны, т.е. (a₁,a₂,...,a_n,...) и (b₁,b₂,...,b_m,...) равны, если m=n и a₁= b₁, a₂= b₂, ..., a_n = b_n .

Прямым произведением множеств А и В (обозначение: А´В) называется множество всех пар (a,b), таких, что аÎА, bÎB. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат А. Такое произведение обозначается A². Аналогично прямым произведением множеств A₁,A₂,...,A_n (обозначение: A₁´A₂´...´A_n) называется множество всех векторов (a₁,a₂,...,a_n,...) длины n, таких, что a₁ÎA₁, a₂ÎA₂,..., a_nÎA_n. При A₁=A₂=...=A_n вместо A₁´A₂´...´A_n записывают Aⁿ.

Примеры.

1. Пусть R- множество действительных чисел. Тогда R²=R´R- это множество точек плоскости, точнее, пар вида (a,b), где a, b принадлежат Rи являются координатами точек плоскости.

Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Декартом, исторически первый пример прямого произведения. Поэтому иногда прямое произведение называют декартовым.

2. Пусть A ={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Тогда А´В={a1,a2,a3,... ,h7,h8) - множество, содержащее обозначение всех 64 клеток шахматной доски.

3. Пусть А - конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества называются алфавитами. Элементы множества Aⁿ называются словами длины n в алфавите А.

Множество всех слов в алфавите А - это множество =A¹È A²È A³È...

При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями, однако они могут оказаться символами самого алфавита. Поэтому слово в алфавите А - это просто конечная последовательность символов алфавита А. Напимер, десятичное натуральное число - это слово в алфавите цифр {0,1,2,...,9}. Текст, напечатанный на пишущей машинке, является словом в алфавите, определяемом клавиатурой данной машинки (включая знаки препинания и пробел).

Прямое произведение не обладает свойством коммутативности (А´В ¹ В´А), но для него выполняются свойства дистрибутивности относительно объединения и пересечения:

(АÈВ) ´С = (А´С) È(В´С), А´(ВÈС) = (А´В) È(А´С);

(АÇВ) ´С = (А´С) Ç(В´С), А´(ВÇС) = (А´В) Ç(А´С).

(Доказать самостоятельно. У к а з а н и е. Воспользоваться схемой доказательства дистрибутивности операций “È“ и “Ç“; см. §3).