1.9.2 Тестовые программы: «Способы задания псевдографов» и «Фрмула Кэли. Коды Прюфера»
1.9.3 Тридцать два варианта индивидуальных заданий в электронном виде по теме: «Булевы функции».
Примерные зачетные тестовые задания.
Контрольная работа №1. «Конечные графы»
Пример одного варианта
1. По данной матрице смежностиориентированного псевдографа
а) нарисовать диаграмму;
б) восстановить список ребер;
в) составить матрицу достижимости;
г) определить степени всех вершин.
2. Подсчитать количество помеченныхорграфов с 5 вершинами, содержащих от 2 до 3 ребер.
3. С помощью алгоритма Прюфера восстановить по вектору дерево. Нарисовать диаграмму. Сделать проверку. (2,1,6,4,4,4,6).
4. В неориентированном графе F имеется 45 ребер. Сколько вершин в F, если
а) F - дерево; б) F - полный граф?
Контрольная работа №2 «Функции алгебры логики»
Пример одного варианта
1. Для данных булевых функций
а) f( , ) = ( ½( Ú )) Å ( )
б) f( , , ) = ( ) ( ~ ) Ú ( → ) ( Å )
1.1. составить таблицы их значений;
1.2. пользуясь таблицами значений, составить СДНФ и СКНФ;
1.3. пользуясь таблицами значений, составить функции, двойственные к данным;
1.4. записать двойственные функции в виде наиболее экономичных СНФ.
2. Дана переключательная (булева) функция:
f( , , ) = ( ) Ú ( → ).
2.1. Путем эквивалентных преобразований упростить формулу, реализующую данную функцию.
2.2. По упрощенной формуле нарисовать наиболее простую релейно-контактную схему, соответствующую данной функции.
3. Дана булева функция трех переменных: f( , , ) = ( ½ ).
3.1. Путем эквивалентных преобразований привести данную функцию к СДНФ и СКНФ.
3.2. Используя принцип двойственности, записать логическую формулу, реализующую функцию, двойственную к данной.
4. Преобразовать логическую формулу: Ú ( ½ ) так, чтобы в ее записи остались только:
4.1. конъюнкция и отрицание; 4.3. стрелка Пирса;
4.2. дизъюнкция и отрицание; 4.4. штрих Шеффера.
5. Разложить данные булевы функции в полином Жегалкина:
а) f( , ) = [ ~ ( )] Å 1,
б) f( , , ) = ( ~ ) Ú .
6. Определить, к каким из пяти основных замкнутых классов (Т0, Т1, S, M, L) принадлежит данная булева функция и к каким она не принадлежит. Ответ обосновать.
f( , , ) = ( ) Ú ( → ).
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
Конечные графы
1. Основные определения (графы, мультиграфы, псевдографы; вершины, ребра, дуги; смежность, инцидентность; графы ориентированные, неориентированные, изоморфные; пустой граф; полный граф).
2. Часть графа. Подграф. Собственный подграф. Дополнение графа.
3. Число помеченных графов с n вершинами и m ребрами.
4. Операции над графами: объединение, соединение, произведение, композиция. Число вершин и ребер графа - результата операции.
5. Матрица инцидентности псевдографа. Список рёбер. Матрица смежности. Определение степени вершины с помощью матриц смежности и инцидентности.
6. Степени вершин графа. Лемма о рукопожатиях (с доказательством). Однородный (регулярный) граф. Теорема о существовании вершин с одинаковыми степенями (с доказательством).
7. Маршрут, путь, цикл, цепь. Теорема о существовании простой ориентированной цепи, проходящей через все вершины графа (с доказательством).
8. Отношение связности в неориентированном графе и его свойства. Связный граф. Компоненты связности. Точка сочленения. Мост.
9. Отношение достижимости в ориентированном графе и его свойства. Базисный граф и способ его построения.
10. Эйлеров граф. Условия, при которых граф эйлеров (с доказательством). Эйлерова цепь. Условия существования эйлеровой цепи.
11. Гамильтонов граф и простейшие условия его существования (с доказательством).
12. Деревья и их свойства: теоремы о связи между вершинами дерева, о числе концевых вершин и ребер, о соотношении числа вершин и числа ребер (с доказательством).
13. Теорема Кэли о числе различных деревьев с “n” вершинами (с доказательством).
14. Двудольный граф. Условия, при которых граф двудольный (с доказательством).
15. Плоский граф. Планарный граф. Теорема Эйлера о связи между количеством вершин, ребер и граней плоского графа (с доказательством).
16. Следствия из теоремы Эйлера: относительно количества ребер планарного графа; относительно графов K5 и K3,3; относительно степени вершины планарного графа (с доказательством). Теорема Понтрягина-Куратовского.
17. Раскраска графа. Хроматическое число графа. Теорема о пяти красках (с доказательством).
Функциональные системы с операциями: алгебра логики
18. Простейшие булевы функции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и т.д. Количество булевых функций от n переменных.
19. Свойства элементарных булевых функций (одно - с доказательством). Формулы. Эквивалентные формулы в булевой алгебре. Проверка формул на эквивалентность.
20. Двойственная булева функция и ее построение. Принцип двойственности.
21. Теорема о разложении булевой функции по n переменным.
22. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) и ее построение. Способы приведения функции к СДНФ.
23. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) и ее построение. Способы приведения функции к СКНФ.
24. Полнота. Примеры полных систем с доказательствами их полноты (без использования теоремы о функциональной полноте).
25. Теорема о представлении булевой функции при помощи полинома Жегалкина.
26. Замыкание. Свойства замыкания.
27. Замкнутые классы Т0 и Т1 функций, сохраняющих константы.
28. Замкнутый класс S самодвойственных функций. Лемма о несамодвойственной функции.
29. Замкнутый класс М монотонных функций. Лемма о немонотонной функции.
30. Замкнутый класс L линейных функций. Лемма о нелинейной функции.
31. Теорема о функциональной полноте.
32. Постановка задачи о минимизации булевых функций в аналитической форме. Метод минимизирующих карт.
, 
) = ( 
) = ( 
~ 
) Ú ( 
→ 
( 
~ ( 
)] Å 1,
(