В этой лекции даются основные начальные сведения из комбинаторики. Это служебный раздел математики, занимающийся исследованием различных комбинаций элементов всевозможных множеств. Формулы комбинаторики широко используются теории вероятностей, в теории вычислительных машин, в некоторых разделах экономике, в статистике и других прикладных дисциплинах.
Правила суммы и произведения.
Будем в дальнейшем оперировать только с множествами, содержащими конечное число элементов. На бесконечные множества все нижеприведённые правила и формулы не распространяются.
Теорема 13.1. Пусть даны непересекающиеся конечные множества . Тогда мощность объединения этих множеств равна сумме мощностей данных множеств:
.
Доказательство этой теоремы очевидно. Но для нас представляет интерес другая интерпретация этой теоремы, которую мы сформулируем для двух множеств.
Если некоторый элемент можно выбрать способами, а элемент - способами, причём любой способ выбора элемента отличается от любого способа выбора элемента , то выбор “ или ” можно сделать способами. Это правило называется правилом суммы.
Пусть даны непересекающиеся конечные множества . Обозначим число элементов в этих множествах (их мощности) . Рассмотрим декартово произведение этих множеств . Напомним, что элементами этого произведения будут векторы (кортежи) длины вида .
Теорема 13.2. Число элементов в декартовом произведении множеств равно произведению мощностей этих множеств:
.
Как и в предыдущем случае, сформулируем данную теорему упрощённым образом для двух множеств. Если элемент можно выбрать способами, а элемент - способами, причём любой способ выбора элемента отличается от любого способа выбора элемента , то выбор “ и ” (то есть, пары ) можно сделать способами. Это правило называется правилом произведения, или умножения.
Оба сформулированных правила верны для любого конечного числа конечных множеств, и, в соответствующей форме, называются обобщёнными.
Пример 1.
а) В некоторой средней школе имеется три пятых класса, в которых обучаются соответственно 28, 31 и 26 учащихся. Требуется одного из них выбрать для участия в совете школы. Сколькими способами можно сделать выбор?
По правилу суммы получаем .
б) В секции фигурного катания занимаются 14 мальчиков и 18 девочек. Сколькими различными способами из детей, занимающихся в секции, можно образовать спортивные пары.
По правилу произведения получаем .
Размещения.
Определение. Любой вектор длины , составленный из элементов элементного множества , в котором все элементы различны, называется размещением без повторений по элементов из . Число всех размещений без повторений по элементов из обозначается и равно .
Пример 2. Куплено различных 12 книг. На полке можно поставить в ряд ровно 6 книг. Сколькими различными способами можно это сделать?
Будем считать различными не только те случаи, когда берутся разные книги, но и когда они по-разному расставлены на полке (в различном порядке). Тогда речь идёт о перестановках по 6 из 12. Получаем: .
Рассмотрим существенно другой случай, а именно когда элементы множества в векторах могут повторяться.
Определение. Любой вектор длины , составленный из элементов элементного множества , состоящего из элементов, в котором все элементы различны, называется размещением с повторениями по элементов из . Число всех размещений с повторениями по элементов из обозначается и равно .
Пример 3. Сколько различных комбинаций может получиться при одновременном бросании трёх игральных костей?
Каждая игральная кость представляет собой кубик, на гранях которого нанесено от одного до 6 очков. При каждом бросании мы будем получать наборы вида , где - количество очков, выпавших на соответствующей кости. Речь идёт о перестановках с повторениями по 3 элемента из 6. Получаем: .
Замечание. Очевидно, что размещения без повторений являются частным случаем размещений с повторениями.
Перестановки.
Определение. Любой вектор длины , составленный из элементов элементного множества , в котором все элементы различны, называется перестановкой без повторений из элементов. Число всех перестановок без повторений из элементов обозначается и равно .
Из определения и формулы видно, что перестановки без повторений есть частный случай размещений без повторений, при условии .
Пример 4. Сколькими различными способами можно расставить на полке 10 различных книг?
Здесь, в отличие от примера 2, значение имеет только порядок расставляемых книг. Поэтому речь идёт о перестановках из 10 элементов. Получаем: .
Рассмотрим случай, когда элементы множества повторяются по нескольку раз. Для определённости пусть 1-й элемент повторяется раз, 2-й элемент - раз и так далее. Тогда векторы длины , образованные из элементов данного множества называются перестановками из элементов с повторениями. Число таких перестановок обозначается и равно .
Положив в последней формуле , получим формулу для перестановок без повторений.
Пример 5. Сколько различных шестизначных чисел могут быть записано с помощью цифр 1, 2, 2, 2, 3, 3?
Имеется набор из шести цифр, в котором цифра 2 повторяется трижды и цифра 3 – дважды. Полученные числа будут представлять собой перестановки с повторениями из 6 элементов. Получаем: .
Сочетания. Бином Ньютона.
Прежде всего, отметим одно существенное отличие перестановок от размещений. Если в размещениях векторы различаются и по составу элементов, и по их расположению (порядку) в наборе, то в перестановках векторы различаются только по расположению элементов. Естественно рассмотреть случай, когда векторы, наоборот, будут различаться только по составу элементов.
Определение. Любые различные векторы длины , составленные из элементов элементного множества , различающиеся между собой по набору элементов, но не по их расположению в наборе, называются сочетаниями по элементов из .
Если все элементы, образующие сочетания, различны, то их называют сочетанием без повторений. Обозначение всех сочетаний без повторений . Формула для вычисления . Если некоторые (или все) элементы, образующие сочетания, могут повторяться, то их называют сочетаниями повторениями. Обозначение всех сочетаний без повторений . Формула для вычисления . Запоминать последнюю формулу нет необходимости.
Замечание 1. Сочетания являются частным случаем размещений. Разница между сочетаниями и размещениями из определения неочевидна, но на конкретных примерах её легко видеть. Так, например, векторы и являются различными размещениями, но обозначают одно и то же сочетание.
Замечание 2. Для сочетаний без повторений обязательно требование , причём в случае равенства получим естественный результат . Но для сочетаний с повторениями это требование необязательно, как будет видно из приведённого ниже примера.
Пример 6.
а) В отделе работают 10 сотрудников. Требуется отобрать трёх из них для того, чтобы направить в командировку. Сколькими способами можно это сделать?
Поскольку имеет значение только то, какие именно сотрудники отобраны, то речь идёт о сочетаниях без повторений по 3 элемента из 10. Получаем:
б) В цветочном магазине имеются в продаже 5 различных видов цветов. Покупателю требуется составить букет из 7 цветов. Сколькими способами можно это сделать?
Будем считать различными те букеты, которые отличаются друг от друга по подбору цветов. Поскольку цветы в букете могут повторяться, то речь идёт о сочетаниях с повторениями по 7 элементов из 5. Тогда получим .
Одним из наиболее известных примеров использования комбинаторных формул является так называемый бином Ньютона. В общем виде формула бинома (двучлена) Ньютона выглядит так:
.
С частными случаями применения этой формулы ( для случаев и ) сталкиваются ещё в школе при изучении формул сокращённого умножения:
.
На практике для удобства применении бинома Ньютона применяют так называемый треугольник Паскаля, который содержит числовые коэффициенты полинома в правой части формулы:
. Тогда мощность объединения этих множеств равна сумме мощностей данных множеств:
.
можно выбрать 
способами, а элемент 
- 
способами, причём любой способ выбора элемента 
способами. Это правило называется правилом суммы.
. Рассмотрим декартово произведение этих множеств 
. Напомним, что элементами этого произведения будут векторы (кортежи) длины 
вида 
.
.
) можно сделать 
способами. Это правило называется правилом произведения, или умножения.
.
.
элементного множества 
, в котором все элементы различны, называется размещением без повторений по 
и равно 
.
.
и равно 
.
, где 
- количество очков, выпавших на соответствующей кости. Речь идёт о перестановках с повторениями по 3 элемента из 6. Получаем: 
.
и равно 
.
.
.
раз, 2-й элемент - 
раз и так далее. Тогда векторы длины 
и равно 
.
, получим формулу для перестановок без повторений.
.
. Формула для вычисления 
. Если некоторые (или все) элементы, образующие сочетания, могут повторяться, то их называют сочетаниями повторениями. Обозначение всех сочетаний без повторений 
. Формула для вычисления 
. Запоминать последнюю формулу нет необходимости.
и 
являются различными размещениями, но обозначают одно и то же сочетание.
, причём в случае равенства получим естественный результат 
. Но для сочетаний с повторениями это требование необязательно, как будет видно из приведённого ниже примера.
.
.
и 
) сталкиваются ещё в школе при изучении формул сокращённого умножения:
.