Аналитический способ задания.

В таблице истинности, рассмотренных ранее, приведены элементарные функции одного и двух переменных

Логика предикатов. Кванторы.

Рассмотрим ряд высказываний: «1 есть простое число», «2 есть простое число», «3 есть простое число»;«4 есть простое число» и т.д. Одни из этих высказываний истинны, другие – ложны, но все они получаются из выражения «n есть простое число», если вместо n подставлять те или иные натуральные числа. Обозначим это выражение через P(n). Само P(n) не является высказыванием, т. к. нельзя сказать истинно оно или ложно, но оно превращается в высказывание при каждом n N. Выражение такого типа называется одноместным предикатом, определенным на множестве N.

Аналогично, примером двухместного предиката является выражение «x дружит с y», где x и y принадлежат , например, множеству студентов второго курса..

Определение. Пусть x₁, x₂, ..., x_n - символы переменных произвольной природы. Эти переменные будем называть предметными.Пусть наборы переменных (x₁, x₂, ..., x_n) принадлежат некоторому множеству Ω, которое будем называть предметной областью. Тогдаn – местным предикатом, определенным на предметной области Ω , называется отображение Ω во множество высказываний.

Квазиопределение. Связное повествовательное предложение, содержащее n переменных и обладающее следующим свойством: при фиксации значений всех переменных о предложении можно сказать истинно оно или ложно.

Для n – местного предиката существует обозначение P(x₁, x₂, ..., x_n ), где P - имя предиката.

Определение. Характеристической функцией предиката P(x₁, x₂, ..., x_n), определенного на предметной области Ω, называется

П р и м е р 1 .Пусть Ω = {2, 3, ..., 8}. Р(x) означает «х – простое число». Таблица истинности этого предиката имеет вид

x P(x)

2 1

3 1

4 0

5 1

6 0

7 1

8 0

П р и м е р 2. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4}² и P(x, y) означает «х является делителем у». Тогда этот предикат можно задать матрицей смежности, которая являетсяфактически таблицей истинности, записанной в более удобном виде

x y

Определение. Если характеристическая функция предиката тождественно равна единице, то такой предикат называется тождественно истинным.

Если характеристическая функция предиката тождественно равна нулю, то такой предикат называется тождественно ложным.

Пример тождественно истинного предиката: .

Пример тождественно ложного предиката: .

Все операции над высказываниями имеют смысл и для предикатов. Но имеются две важные логические операции, которые имеют именно для предикатов.

Пусть P(x) – одноместный предикат, определенный на области Ω. Поставим ему в соответствие высказывание: «для каждого х Ω Р(х) – истинно». Такое высказывание обозначается и читается «для каждого х имеет место P(x)». Это высказывание истинно тогда и только тогда, когда Р(х) – тождественно истинный предикат.

Определение. Значок называется квантором всеобщности. Говорят, что высказывание получается из предиката Р(х) навешиванием квантора всеобщности.

Составим еще одно высказывание о предикате Р(х) «существует х Ω, для которого Р(х) истинно».Такое высказывание обозначается и читается «существует x, для которого имеет место Р(х). Это высказывание ложно тогда и только тогда, когда Р(х) тождественно ложный предикат.

Определение. Значок называется квантором существования. Говорят, что высказывание получается из предиката Р(х) навешиванием квантора существования.

Обозначения и для кванторов – это перевернутые латинские буквы А и Е, которые являются первыми буквами английских слов «All» и «Exist».

Если предметная область Ω конечна Ω ={a₁, a₂, ..., a_k}, то высказывание равносильно конъюнкции

При этом справедливы обобщенные законы де Моргана

П р и м е р . Ω = N², а Р(х, у) означает «х является делителем у», тогда

На языке предикатов можно записать многие математические понятия.

Например. Пусть a является пределом последовательности {x_n}. Это означает:

каково бы ни было ε, найдется такое натуральное число N. что для всех n > N выполняется соотношение |x_n – a| < ε. Это высказывание. Существование предела равно истинности этого высказывания. Итак.