Золотое сечение

Разделим отрезок AB на части так, чтобы большая часть была бы средним пропорциональным между всем отрезком и

меньшей его частью. Иными словами, мы ищем точку C такую,

что AC:BC = BC:AB (рис. 1).

A C D B

Рис. 1

Пусть BC = x⋅AB. Тогда AC = x⋅BC = x2⋅AB. Так как

AC + BC = AB, то

x2 + x = 1. (9)

Уравнение (9) имеет два решения:

− 1 

5 ≈ 0,618

и −1−

5 ≈ −1,618 .

Точка C соответствует положительному решению

x  −1 5 .

Разбиение отрезка AB на две части точкой C называют

золотым сечением этого отрезка.

Точно так же можно получить золотое сечение отрезка AB

точкой D такой, что BD:AD = AD:AB.

Оказывается, точка D дает золотое сечение отрезка BC.

Действительно:

BC = x⋅AB, AD = x⋅AB, BD = (1 – x)⋅AB,

и, значит, CD = BC – BD = (2x – 1)⋅AB. Таким образом,

CD  2x −1 ;

BD  1− x .

BD 1 − x BC x

Так как x служит корнем уравнения x2 + x – 1 = 0, то, как

легко проверить,

2x −1  1− x . Следовательно,

1 − x

−1 5

CD 

BD .

Заметим, что x  2

– это предел, к которому стремится

отношение соседних чисел Фибоначчи Fn/Fn+1. Приближение золотого сечения, изображенного на рис. 1, можно получить,

взяв точки C′ и D′ такие, что



AC′  1−



F 

n +1

AB 

Fn  2 

Fn  2

AB ;

AD′ Fn 1

Fn 2

AB .

К «золотому» пределу

−1 5

 1, где

б  1 5

, отношение

un/un+1 стремится для любой последовательности с положительными членами, удовлетворяющей рекуррентному соотношению un+2 = un+1 + un. В самом деле, члены любой такой последовательности имеют вид

un = an + bn,

где

б  1 5

и в 

1− 5

– корни характеристического уравнения

x2 – x – 1 = 0. Поскольку все члены последовательности (un)

положительны, a ≠ 0. Так как ||  1, то ()n →0 при n→∝.

Следовательно,

бn  в n

1 bвn

un  a b

 a б

→ приn→∝.

un 1

aбn 1 bвn 1

бbвn в б

a б

Таким образом, аппроксимировать золотое сечение можно с помощью любой положительной последовательности (un), члены которой удовлетворяют рекуррентному соотношению un+2 = un+1 + un.

Золотое сечение используется в техническом анализе при

торговли ценными бумагами на инвестиционных рынках.

Центральную роль в так называемом анализе Фибоначчи играют Фиб-узлы (или уровни Ди Наполи). На ценовой волне берутся две крайние точки A и B и отрезок AB делится точками C и D (рис. 2) подобно тому, как это сделано на рис. 1. Полученные точки называются Фиб-узлами. Считается, что в этих точках происходит значительное сопротивление изменению цен при обратном движении.