Ниже будут описаны некоторые свойства, которыми могут обладать функции выбора. Считается, что функции, обладающие теми или иными комбинациями этих свойств, моделируют так называемый рациональный выбор. Будем говорить, что функция выбора C удовлетворяет условию наследования (или обратному условию Сена), если
Y∩C(X) ⊂ C(Y)
для любого X и любого Y⊂X.
В соответствии с определением выбор удовлетворяет условию наследования, если варианты, выбираемые из более широкого множества (при больших возможностях для сравнения и выбора), тем более будут выбраны и в более узком.
Будем говорить, что функция выбора C удовлетворяет условию согласия (или прямому условию Сена), если
C(X∪Y) ⊃ C(X) ∩C(Y)
для любых X и Y. Потребительский выбор, удовлетворяющий условию согласия, можно описать так: если два ассортимента содержат общие товары, выбираемые потребителем из каждого из этих ассортиментов, то они будут выбраны и при предъявлении ему объединенного ассортимента. Заметим, что условие согласия можно формулировать не для двух, а для любого конечного числа множеств. Если функция выбора удовлетворяет условию согласия, то, например, для трех множеств X,Y,Z имеем
C(X∪Y∪Z) ⊃ C(X∪Y) ∩C(Z) ⊃ C(X) ∩C(Y) ∩C(Z).
Будем говорить, что функция выбора C независима от отвергнутых вариантов, если
C(X\Y) = C(X)
в случае, когда Y⊂X\C(X).
Выбор независим от отвергнутых вариантов, если отбрасывание некоторых (или всех) вариантов, не выбранных из исходного предъявления, не меняет выбора.
Следующая теорема описывает свойства функций выбора в терминах их логических представлений.
Теорема.Пусть набор булевых функций f=(f1,f2,…,fn) служит логическим представлением функции выбора C.
1) Функция C удовлетворяет условию наследования тогда и только тогда, когда отображение f:{0,1}n→{0,1}n антимонотонно:
ξ≤η⇒ f(ξ)≥ f(η)
2) Функция C удовлетворяет условию согласия тогда и только тогда, когда
f(ξ)∧f(η)≤f(ξ∨η)
для любых ξ,η∈{0,1}n.
3) Функция C независима от отвергнутых альтернатив тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:
η∧f(η) ≤ ξ ≤ η ⇒ η∧f(η) = ξ∧f(ξ).
Мы не приводим доказательства, которое получается простой переформулировкой определений.
Теорема Сена. Функция выбора нормальна тогда и только тогда, когда одновременно удовлетворяет условиям наследования и согласия.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что функция выбора C нормальна, то есть имеет вид C=CR для некоторого бинарного отношения R на множестве альтернатив Ω:
C(X) = { x∈X | ∀y∈X (yRx)}.
Покажем, что функция C удовлетворяет условию наследования. Пусть Y⊂X. Возьмем произвольный элемент x∈Y∩C(X). Так как x∈C(X), то yRx не выполняется ни для одного y∈X и, значит, тем более ни для одного y∈Y. Но тогда x∈C(Y). Следовательно, Y∩C(X)⊂C(Y).
Покажем теперь, что функция C удовлетворяет условию согласия. Возьмем произвольный элемент x∈C(X) ∩C(Y). Тогда yRx не выполняется ни для одного y∈X и ни для одного y∈Y. Значит, yRx не выполняется ни для одного y∈X∪Y и потому x∈C(X∪Y). Следовательно, C(X) ∩C(Y)⊂C(X∪Y).
Достаточность. Предположим теперь, что функция C удовлетворяет условиям наследования и согласия. Определим бинарное отношение R на множестве альтернатив условием
Но тогда CR(X)⊂C(X). Докажем обратное включение. Пусть x∈C(X). Тогда для любого y∈X, в силу условия наследования, имеем
x∈{x,y}∩C(X) ⊂C({x,y}),
то есть x∈ CR(X).
Приведем без доказательства еще одну теорему.
Теорема. Функция выбора C на множестве вариантов Ω является выбором по Парето относительно некоторого векторного критерия тогда и только тогда, когда функция C удовлетворяет условиям наследования и согласия, независима от отвергнутых вариантов и дает непустой выбор для непустых предъявлений.
