Напомним, что для конечного множества A мы обозначаем через |A| число его элементов. Будем называть число n мощностью множества A. Мощности конечных множеств A и B совпадают в том и только том случае, когда между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Если f:A→B – отображение, то |f(A)|≤|A| (некоторые элементы множества A могут «склеиться»). Отображение f инъективно тогда и только тогда, когда |f(A)|=|A| («склеек» не происходит). Для конечных множеств отображение f сюръективно тогда и только тогда, когда |f(A)|=|B|.
Предположим, что A и B – конечные множества одинаковой мощности, |A|=|B|, а f:A→B – некоторое отображение. Тогда следующие условия равносильны:
f инъективно;
f сюръективно;
f биективно (является взаимно однозначным соответствием).
В случае бесконечных множеств ситуация оказывается более сложной. Например, формулой f(n)=2n определяется отображение f множества натуральных чисел в себя, которое инъективно, но не сюръективно. В общем случае говорят, что множества A и B равномощны и пишут |A|=|B|, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Если существует инъективное отображение множества A в множество B, то говорят, что мощность A не превосходит мощности B и пишут |A|≤|B|.
Теорема Кантора–Бернштейна. Если существуют инъективные отображения f:A→B и g:B→A, то множества A и B равномощны. Иными словами: если |A|≤|B| и |B|≤|A|, то |A|=B|.
Доказательство. Положим A0=A и A1=g(B). Поскольку g устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств B и A1=g(B), достаточно показать, что имеется взаимно однозначное соответствие между элементами множеств A и A1.
Рассмотрим отображение h:A→A, равное композиции отображений f и g. Как композиция инъективных отображений, оно инъективно. Определим индуктивно последовательность множеств A0, A1,…, полагая
A0=A; A1= g(B); Ai+2=h(Ai), i=0,1,2,…
Очевидно, A0⊃A1. Далее, A1=g(B)⊃g(f(A))=A2. Поэтому
A2=h(A0)⊃h(A1)=A3, A3=h(A1)⊃h(A2)=A4, …
Таким образом,
A0⊃A1⊃A2⊃ … ⊃Ai⊃Ai+1⊃…
Положим
Ci=Ai\Ai+1, i=0,1,…; I∞==0iiAC.
Отображение h устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств Ci и Ci+2 для всех i=0,1,2,… .
Множества C, Ci, i=0,1,2,… образуют разбиение множества A, то есть они попарно не пересекаются, а их объединение составляет все множество A:
A=C∪C0∪C1∪C2∪C3∪… .
Точно так же множества C, Ci, i=1,2,… образуют разбиение множества A1:
A1=C∪C1∪C2∪C3∪… .
Перепишем эти разложения в следующем виде:
A=(C∪C1∪C3∪…)∪ (C0∪C2∪С4∪…);
A1=(C∪C1∪C3∪…)∪ (C2∪С4∪…).
Отображение ϕ:A→A1, при котором
ϕ(x)=x, если x∈C∪C1∪C3∪…;
ϕ(x)=h(x), если x∈C0∪C2∪С4∪…,
устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств A и A1.
Следующие две теоремы приведем без доказательства.
Теорема Цермело.Для любых множеств A и B выполняется одно из трех условий: |A|<|B|, |B|<|A|, |A|=|B|.
Теорема.Если существует сюръективное отображение множества A на множество B, то |A|≥|B|.
Последние три теоремы показывают, что сравнение по мощности бесконечных множеств обладает «привычными» свойствами сравнения по мощности конечных множеств.
В заключение покажем, что существуют множества сколь угодно больших мощностей.
Теорема Кантора. Каково бы ни было множество A, множество всех его подмножеств 2A имеет мощность строго большую, чем само множество A, то есть |A|<|2A|.
Доказательство. Соответствие x→{x}, при котором каждому элементу x множества A сопоставлено одноэлементное подмножество {x}, задает инъективное отображение A в 2A. Следовательно, |A|≤|2A|. Покажем теперь, что |A|≠|2A|. Предположим противное, то есть, что существует биективное отображение f:A→2A. Положим
D={x∈A | x∉f(x)}.
Тогда
x∈D⇔x∉f(x)
Поскольку f биективно, существует такой элемент d∈A, что f(d)=D. Подстановка d вместо x в предыдущую формулу приводит к противоречию: d∈D ⇔ d∉D.
