Логика предикатов и математическая практика

В математической практике обычно применяется смесь естественного языка и формул, образующая своеобразный математический «жаргон» (математическое арго). В принципе, математические теории могут быть записаны на полностью формализованном язык. Однако их восприятие человеком (да и создание – тоже) будет крайне затруднено, если вообще возможно. Применение естественного языка существенно облегчает восприятие математических текстов. При этом возникает, однако, опасность неоднозначного понимания. Всякий текст ориентирован на определенную категорию читателей. Уровень его формализации должен быть таков, чтобы текст достаточно легко воспринимался читателем, и компетентности читателя хватало для устранения возможной неоднозначности понимания.

Например, определение предела последовательности может быть дано так: «Число a называется пределом последовательности {a_n}, если a_n становится сколь угодно близким к a для достаточно больших n». Эта формулировка может быть уточнена: «Число a называется пределом последовательности {a_n}, если для любого положительного числа ε существует такой номер n₀, начиная с которого все члены последовательности отличаются от a по модулю меньше, чем на ε». Наконец, то же определение может быть записано на языке логики предикатов:

(a есть предел {a_n}) ⇔ ∀ε>0 ∃n₀∈N ∀n (n>n₀ → |a_n−a|<ε).

Записи типа последней, если они оказываются не слишком сложны, часто используют для введения новых понятий. Например, пусть P и Q – двухместные предикаты на множестве X. Трактуя их как бинарные отношения, композицию PQ можно определить формулой

(PQ)(x,z)=∃y(P(x,y)∧Q(y,z)).

Желая подчеркнуть, что формула является определением, иногда используют стилизованный знак равенства:

(PQ)(x,z):= ∃y(P(x,y)∧Q(y,z)).

То же определение может быть записано и в такой форме:

(PQ)(x,z) опр⇔ ∃y(P(x,y)∧Q(y,z)).

Обычно теоремы формулируются в виде утверждений типа: если P(x), то Q(x). Их следует понимать так: если истинно P(x), то истинно Q(x). Такая теорема может быть представлена формулой

[∀x(P(x)→Q(x))]=1,

хотя более принятой является форма

P(x) ⇒ Q(x).

Говорят, что P(x) – достаточное условие для Q(x), а Q(x) – необходимое условие для P(x). Утверждение Q(x)⇒P(x) называют обратным к утверждению P(x)⇒Q(x). Запись

P(x) ⇔ Q(x)

соответствует утверждению: P(x) тогда и только тогда, когда Q(x).