Всякому одноместному предикату P(x) на множестве X поставим в соответствие высказывание, обозначаемое через ∃xP(x) (читается «существует x такой, что P(x)»). Высказывание ∃xP(x) истинно, если область истинности предиката P не пуста, и ложно в противном случае. Таким образом, ∃xP(x) истинно, если в множестве X найдется хотя бы один элемент a, для которого P(a) истинно. Знак ∃ называется квантором существования. Про переменную x в высказывании ∃xP(x) говорят, что она связана квантором существования.
Примеры.Высказывания
∃x(x2+1=0), ∃x(2x <0)
ложны; высказывания
∃x(x2+5x+6=0), ∃x(2x >1000) истинны (мы считаем уравнения и неравенства предикатами на множестве действительных чисел).
Кванторы существования применяются не только к одноместным предикатам. Например, пусть P(x,y) – двухместный предикат на множестве X. Зафиксируем значение y=b. Тогда, считая P(x,b) одноместным предикатом от переменной x, можно составить высказывание ∃xP(x,b). Сопоставляя каждому b значение истинности этого высказывания, мы получаем одноместный предикат, зависящий от переменной y. Этот предикат обозначается через ∃xP(x,y). В этом предикате переменная x считается связанной, а переменная y – свободной. Аналогично определяется ∃yP(x,y). Подобные определения можно распространить и на предикаты большего числа переменных.
Пример. Рассмотрим на множестве действительных чисел трехместный предикат
x2+px+q=0.
Предикат
∃x (x2+px+q=0)
двухместный, он зависит от переменных p и q. Значения p и q, при которых уравнение имеет решения, превращают его в истинное высказывание. Этот предикат равносилен предикату p2−4q≥0, так что можно записать
∃x (x2+px+q=0) ⇔ p2−4q≥0. Квантор общности.
Всякому одноместному предикату P(x) на множестве X поставим в соответствие высказывание, обозначаемое через ∀xP(x) (читается «для любого x P(x)»). Высказывание ∀xP(x) истинно, если область истинности предиката P совпадает с множеством X, и ложно в противном случае. Таким образом, ∀xP(x) истинно, если P(a) истинно для всех элементов a из множества X. Знак ∀ называется квантором общности. Про переменную x в высказывании ∀xP(x) говорят, что она связана квантором общности.
Примеры.Относительно действительных чисел высказывания
∀x (x2+1>0), ∀x (x2 −1=(x−1)(x+1))
истинны; высказывания
∀x (x2+5x+6=0), ∀x (2x >1000)
ложны.
Так же, как и кванторы существования, кванторы общности применяются не только к одноместным предикатам. Например, пусть P(x,y) – двухместный предикат на множестве X. Тогда ∀xP(x,y) – это одноместный предикат. Он принимает значение «истина» для y=b, если истинно высказывание ∀xP(x,b).
Применяя к предикату P(x,y) кванторы в разном порядке, можно получить следующие высказывания:
Нетрудно видеть, что подобные равенства верны для предикатов на произвольном множестве X (не обязательно конечном):
[(∀xP(x))] = [х∃x(P(x))]; [(∃xP(x))] = [∀x(P(x))]. Эти равенства называют законами де Моргана для кванторов.
В математической практике распространены так называемые ограниченные кванторы.
Ограниченный квантор существования. Запись ∃Q(x)P(x) служит сокращением для ∃x(Q(x)∧P(x)). Высказывание ∃Q(x)P(x) истинно, если среди объектов, обладающих свойством Q, найдется объект, обладающий свойством P. Например, утверждение «существует отрицательное число, квадрат которого больше двух» может быть записано в виде ∃x<0 x2>2.
Ограниченный квантор общности. Запись ∀Q(x)P(x) служит сокращением для ∀x(Q(x)→P(x)). Высказывание ∀Q(x)P(x) истинно, если P(x) истинно для всех x, обладающих свойством Q. Например, утверждение «квадрат любого числа из промежутка [–2;2] не превосходит четырех» может быть записано в виде ∀x∈[–2;2] x2≤4. Равносильным образом это может быть записано так же, как ∀|x|≤2 x2≤4.
