Наряду с высказываниями в математике приходится иметь дело с высказывательными формами, которые превращаются в высказывания при замене в них переменных именами предметов. Например, записи x>5 нельзя приписать значение истинности, пока вместо x не подставлено число. Подставив вместо x число 7, мы получим истинное высказывание, подставив 3 – ложное. Подобные высказывательные формы называют предикатами. Дадим более точное определение.
Будем говорить, что на множестве X задан предикат P(x1,x2,…,xn) от переменных x1, x2, …, xn , если каждому набору значений этих переменных из множества X поставлено в соответствие значение истинности: 1 (истина) или 0 (ложь). Предикаты от одной переменной называют одноместными; от двух переменных – двухместными и т.д. Вообще, n-местный предикат можно рассматривать как отображение Xn в {0,1}.
Для обозначения предикатов используются заглавные латинские буквы, дополненные списком переменных, от которых зависит предикат. Переменные в предикатах называют предметными, а множество, в котором они принимают значения, называют иногда предметной областью. Например, P(x,y) – предикат P, зависящий от предметных переменных x и y. Для обозначения высказываний, которые получаются после замены переменных конкретными значениями, используются стандартные функциональные обозначения, например P(2,3) и т.п. Некоторые предикаты, часто используемые в математической практике, имеют свои специфические обозначения. Например, x=y, x>y – предикаты от двух переменных.
Высказывания можно трактовать как нульместные предикаты, то есть постоянные предикаты, не зависящие от переменных.
Одноместный предикат P(x) на множестве X может трактоваться как свойство. Предмет x обладает свойством P, если P(x) истинно, и не обладает свойством P, если P(x) ложно.
Двухместный предикат P(x,y) на множестве X×Y может трактоваться как соответствие. Предмет y соответствует предмету x в том и только том случае, когда P(x,y) истинно. При X=Y предикат P(x,y) может трактоваться как бинарное отношение: предметы x и y находятся в отношении P, если истинно P(x,y).
Пусть P – n-местный предикат на множестве X. Обозначим через DP множество всех тех наборов из Xn, для которых этот предикат истинен. Множество DP⊂Xn называется областью истинности предиката P.
Пример.Уравнение или неравенство с одной неизвестной величиной является предикатом на своей области определения. Область истинности такого предиката – множество решений. Например, неравенство P(x): lg x>3 – это одноместный предикат на множестве положительных действительных чисел; DP = (1000; +∞).
Одноместные предикаты можно в некотором смысле отождествить с характеристическими функциями. Пусть X – произвольное множество, и A⊂X – некоторое его подмножество. Областью истинности одноместного предиката x∈A на множестве X является A. Так что значения истинности предиката x∈A совпадают со значениями характеристической функции подмножества A. Обратно, всякий одноместный предикат P на множестве X принимает те же значения, что и предикат x∈DP.
Иногда бывает удобно считать, что предметные переменные принимают свои значения в разных множествах. Например, для предиката P(x,l): «точка x лежит на прямой l», – удобно считать, что переменная x пробегает множество точек X, а переменная l – множество прямых L. В такой ситуации говорят, что предикат P определен на X×L и рассматривают его как отображение множества X×L в {0,1}.
Предикат P(x1,x2,…,xn) на множестве X называется:
а) тождественно истинным (ложным), если он принимает значение «истина» («ложь») для любого набора значений его предметных переменных; б) выполнимым (опровержимым), если существует хотя бы один набор значений предметных переменных, для которого предикат P принимает значение «истина» («ложь»).
Пример. Предикат x2+y2≥0 тождественно истинен на множестве действительных чисел; предикат x2+y2<0 – тождественно ложен; предикат x2+y2>0 – одновременно выполним и опровержим.
Непосредственно из определений вытекает справедливость следующих утверждений.
Предикат P(x1,x2,…,xn) на множестве X тождественно истинен (ложен) тогда и только тогда, когда DP=Xn (соотв. DP=∅).
Предикат P(x1,x2,…,xn) на множестве X выполним (опровержим) тогда и только тогда, когда DP≠∅ (соотв. DP≠Xn).
