Тождественно истинные формулы

Один класс равносильных логических формул играет особенно важную роль. Это класс формул, которые принимают значение 1 при любой оценке их переменных. Такие формулы называют тождественно истинными.

Примеры.Формулы

X∨X, (X∧X), (X∧(X→Y))→Y,

((X→Y)∧(X→Y))→X

тождественно истинны. В этом несложно убедиться, построив таблицы истинности.􀀀

Тождественно истинные формулы остаются истинными независимо от того, какими высказываниями заменены входящие в них переменные. Они соответствуют, в определенном смысле, некоторым универсальным логическим законам. Так, первая формула из предыдущего примера выражает так называемый закон исключенного третьего: из двух противоположных утверждений хотя бы одно истинно, Вторая формула– закон противоречия: два противоположных утверждения не могут быть истинными одновременно. Третья формула представляет собой правило заключения: из истинности посылки и импликации вытекает истинность заключения. Четвертая формула соответствует принципу доказательства от противного: утверждение верно, если из его отрицания следует одновременно некоторое заключение вместе со своим отрицанием.

Обычно логическое рассуждение проводится по следующей схеме: если верны посылки U₁, U₂, …, U_n, то верно заключение V. Чтобы проверить правильность рассуждения, достаточно установить тождественную истинность формулы (U₁∧U₂∧…∧U_n)→V. Например, логическая схема «из X→Y следует Y→X» (вместе с любым заключением верно и обратное к нему) является неверной. В этом можно убедиться, проверив, что формула (X→Y)→(Y→X) не тождественно истинна.