Волжский, 2012 г.

Волжский политехнический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет»

(ВПИ (филиал) ВолгГТУ)

Кафедра «___________________________________________________________»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «_____________________________________________________»

на тему______________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Студент_____________________________________________________________

Группа________________________

Оценка ________________________

(зачтено / незачтено )

Проверил ________________________ _____________________

(подпись и дата подписания) (долж., инициалы и фамилия)

Нормоконтролер ______________________________ _____________________________

(подпись, дата подписания) (инициалы и фамилия)

Волжский, 2012 г.

1. Для заданных множеств А, В и С найдите:

АÈВ, АÈС, ВÈС, АÈВÈС, АÇВ, АÇС, ВÇС, АÇВÇС, A \ B, B \ A, A \ C, C \ A, B \ C, C \ B, (А \ В) \ С, А \ (В \ С), А Å B, А Å С, B Å C, A Å B Å C. Изобразите на плоскости А´В, А´С, В´С. Найдите считая универсальным множеством множество ℝ – всех вещественных чисел (всю числовую ось).

А = [–7.5; 4.5]– отрезок числовой оси

В = (0; 5)– интервал на числовой оси

С = (–10; 0] – полуинтервал на числовой оси

Решение

Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, являющихся элементами хотя бы одного из множеств A или B, поэтому:

АÈВ = [-7.5;5)

АÈC=(-10;4.5]

BÈC=(-10;5)

АÈBÈC= (-10;5)

Пересечением двух множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B, поэтому:

АÇВ = (0;4.5]

АÇC = [-7.5;0]

BÇC = Æ

AÇBÇC = Æ

Относительным дополнением множества B до множества A называется множество тех элементов A, которые не являются элементами B, поэтому

А \ В = [-7.5;0]

B \ A = (4.5;5)

А \ C = (0;4.5]

C \ A = (-10;-7.5)

B \ C = (0;5)

C \ В = (-10;0]

(A \ B) \ C = Æ

A \ (B \ C) = [-7.5;0]

Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, а абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, поэтому:

AÅB = (A\B)È(B\A) = {[-7.5;0] ,(4.5;5)}

AÅC = (A\C)È(C\A) = {(-10;-7.5),(0;4.5]}

BÅC = (B\C)È(C\B) = (-10;5)

AÅBÅC = ((AÅB)\C)È(C\(AÅB)) = {(-10;-7.5),(4.5;5)}

={(-µ;-7.5),(4.5,+µ)}

={(-µ;-0],[5,+µ)}

={(-µ;-10],(0,+µ)}

Декартовым (прямым) произведением двух множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a,b)таких, что и , поэтому:

2. Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область определения и область значений отображений. Определите, являются ли они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите композицию (ƒ ◦ g), (g ◦ ƒ), обратные (слева и справа) отображения: ƒ^–1, g^-1, (ƒ ◦ g)^-1, (g ◦ ƒ)^-1. Для заданных множеств A, B Í ℝ найдите f(A), g(A), ƒ ^–1(B), g^-1(B). Найдите также неподвижные точки отображений.

f(x) = – (x – 1)² –1; g(x) = x–3; А = [0.5; 3]; В = [–3; –2]

Решение:

область определения отображения f – это множество таких значений х, для которых имеется вещественное число у такое, что у=f(x). И, так как для любого вещественного числа х найдется число у с указанным свойством, то пр₁f =ℝ – множество всех вещественных чисел.

Аналогично, область определения отображения g: пр₁g =ℝ.

Отображение g является инъективным, поскольку для каждого уÎпр₂g, имеется ровно один хÎ пр₁g (или каждый образ имеет ровно один прообраз). Отображение f инъективным не является, т.к. для некоторых уÎпр₂f, имеется более одного прообраза, например: для у=-2 прообразами будут х=0 и х=2.

Отображение g является сюрьективным, поскольку для каждого уÎпр₂g, имеется хотя бы один хÎпр₁g (или каждый образ имеет хотя бы один прообраз). Отображение f также является сюрьективным, т.к. для каждого уÎпр₂f, имеется хотя бы один хÎпр₁f такой, что у = f(x).

Так как g одновременно инъективно и сюрьективно, то оно является биективным отображением.

Найдем композицию отображений:

(f∘g)(x) = f(g(x)) = (–g(x)–1)²–1 =–(x–3–1)² –1 =–(x–4)² – 1,

(g∘f)(x) = g(f(x)) = f(x) –3 = – (x–1)² –1–3 = – (x–1)²–4

Отображение f обратимо справа, как сюрьекция. И , где y£ –1. Из выражения найдем x. Тогда и , где y£ –1.

При этом, (f∘f ^‑1)(у) = f(f ^‑1(y))= – тождественное отображение при y £ ‑1.

Отображение g обратимо как слева, так и справа, как биекция. И , где y любое. Из выражения следует: . И при этом: (g∘g^‑1 )(у) = g(g^‑1(y)) = (y+3) –3 = y и (g^‑1∘g )(х) = – тождественные отображения.

По свойствам композиции

f(A) = { y = f(x), где xÎA }, поэтому f(A)=[–5; –1].

Аналогично, g(A) = { y = g(x), где xÎA } = [–2.5; 0].

Найдем неподвижные точки. По определению это такие х, что: f(x)=x и g(x)=x. Таким образом, x = –(x–1)²–1. Отсюда x²+3x+2=0 и т. к. дискриминант D=9–8=1>0, то – две неподвижные точки f(x).

Из g(x)=x следует, что x=x–3 , т.о. g(x) неподвижных точек не имеет.

3. Используя таблицу истинности и аналитические преобразования, установить эквивалентность функций в формулах:

x → (y | z) = (x →y) | (x → z)

Решение

1. Составим таблицы истинности для функций

Так как значения не совпадают, то функции не эквивалентны.

Преобразуем функции

Так как полученные выражения не равны, то функции не эквивалентны.

2. Составим таблицы истинности для функций

Так как значения совпадают, то функции эквивалентны.

Преобразуем функции

Так как полученные выражения равны, то функции эквивалентны.

4. Определить к каким классам относится функция следующего вида:

Решение

x	y	z	z® x			(z® x) ( )

Так как f(0,0,0)=0 значит , данная функция относится к классу константы 0.

Так как f (1,1,1) = 1, значит, данная функция не относится к классу константы 1.

Так как f(0,0,0)< f (0,0,1) и f(0,0,1) > f(0,1,0), значит, данная функция не относится к классу монотонных функций.

Так как, например, f(0,1,1) = f(1,0,0), то данная функция не относится к классу самодвойственных функций.

Проверим принадлежность функции к классу линейных функций. Для этого запишем ее в таком виде: f=c₀Å c₁xÅ c₂yÅ c₃z

f(0,0,0)= c₀=0

f(0,0,1)= c₀Å c₃=1® c₃=1

f(0,1,0)= c₀Å c₂=0® c₂=0

f(0,1,1)= c₀Å c₂Å c₃=1

f(1,0,0)= c₀Å c₁=1® c₁=1

f(1,0,1)= c₀Å c₁Å c₃=1® c₃=0

Получившаяся система уравнений несовместна, поэтому функция не является линейной.

5.Необходимо для данной функции найти её СДНФ, СКНФ, ЭСНФ, ИСНФ, принимающей значения 1 на следующих наборах: 1,2,3,4,5,6,7,9,13,14,15.

Таблица 1
№	x1	x2	x3	x4	f	СДНФ	СКНФ
					1

Решение

Составим таблицу истинности для функции. В столбце СДНФ показаны элементарные конъюнкции, в строках, где функция принимает единичные значения, а в столбце СКНФ - элементарные дизъюнкции в строках, где функция равна нулю. Тем самым, совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

f(x)= Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú Ú .

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

f(x)=( )&( )& ( )&( )&

&( ).