Замечание.

Множество называется булеаноммножества А.

2. Декартово произведение.

Кардинальными операциями называются такие операции, при применении которых в результирующем множестве появляются новые элементы.

Примером кардинальных операция является прямое (декартово) произведение множеств.

Прямым произведением множеств А и В называется множество

А В={(a,b)| a A, b B}, т.е. множество тех и только тех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая В.

Через - обозначают, соответственно, декартов квадрат и декартову n-ую степень множества А.

Отношения (реф­лексивности, симметричности, асимметричности, антисимметричности, транзитивности, антитранзитивности) и их свойства.

Отношения эквивалентности.

3. Функция - отображение.

Отношение f на AxB называется функцией из A в B , если

если это отображение является функцией и выполняется условие , то говорят, что

-если , то функция (f – образ множества A)

- множество значений

Биекция.

-отображение называется инъективным (инъекция), если из того, что называется отображением “на”

-называется сюръективным, если для любых

-отображение f называется взаимооднозначным или биекцией, если это отображение является и инъективным и сюръективным

если для любого и :

-

если A=B, то эти отображения называются перестановкой в множестве A.

Эквивалентность множеств.

Счетные множества.

Счетныммножеством называется всякое множество, элементам которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие множество натуральных чисел.

Отсюда, счетное множество - это бесконечное множество, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами.

Примерами счетных множеств, кроме множества натуральных чисел, являются:

- множество целых чисел Z,

- множество всех четных положительных (отрицательных) чисел,

- множество натуральных степеней числа 2,

- множество рациональных чисел Q,

- множество алгебраических чисел и т.д.

Покажем, например, счетность множества алгебраических чисел.

Число а называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами.

Так как множество целых чисел счетно, то занумеруем их, например, следующим образом:

если целое число n неотрицательно,

то поставим ему в соответствие номер 2n+1, (1)

если целое число n отрицательное,

то поставим ему в соответствие номер 2|n|.

Каждому уравнению вида :

(2)

поставим в соответствие натуральное число:

, где 2,3,...,p - простые числа, а - номер целого числа (коэффициента уравнения (1)), полученного после приведенной нумерации (1).

Таким образом можно перенумеровать все уравнения типа (2). Так как каждое уравнение (2) имеет не более n различных корней, то тем самым доказывается счетность множества алгебраических чисел.