Минимизация ФАЛ на кубе

Рассмотрим проблему минимизации для геометрического способа задания ФАЛна кубе. Сопоставим различным геометрическим элементам куба (вершинам, ребрам, граням и кубу) конъюнкции различных рангов. Сумма размерности геометрического эквивалента и ранга конъюнкции, ему соответствующей равна числу аргументов ФАЛ.

Каждый геометрический элемент меньшей размерности покрывается геометрическими элементами большей размерности.

Каждая конъюнкция большего ранга покрывается всеми конъюнкциями меньшего ранга.

Геометрические эквиваленты называютинтервалами.

Интервал L-го ранга– подмножество вершин куба, соответствующих конъюнкции ранга L.

Например:

Конъюнкции соответствует 4 вершины: 100, 101, 110, 111.

На кубе отмечают вершины, где ФАЛ равна 1. Эти вершины образуют подмножество Т₁. Для того, чтобы задать ДНФ на кубе, необходимо задать покрытие всех вершин.

Максимальный интервал J – интервал, для которого не существует никакого другого интервала J’с рангом меньше, чем у J, и такого, что выполняется следующее соотношение .

Например:

Пусть ФАЛ задана множеством .

ДСНФ .

Ранг ДСНФ равен .

Определим множество интервалов: .

Ранг равен , а для интервалов и ранг равен двум. Интервалы и являются максимальными, а интервал не является максимальным, так как и ранг меньше ранга .

На рисунке отмечены максимальне интервалы.

Сокращенная ДНФ (СДНФ) –ДНФ, которая соответствует покрытию множества Т₁всеми максимальными интервалами.

Минимальная ДНФ получается из СДНФ путем выбрасывания из покрытия множества Т₁ максимальными интервалами некоторых “лишних” интервалов.

Задача о минимизации ФАЛ рассматривается как задача о нахождении минимальной ДНФ. Необходимо найти покрытие множества , при котором будет минимальным

,

где – ранги всех интервалов, что составляют покрытие для данной ФАЛ.