Відношення еквівалентності

Бінарне відношення на множині A називається відношенням

еквівалентності, якщо це відношення є рефлексивним, симетричним та транзитивним.

Відношення еквівалентності будемо позначати символом“≡”.

Прикладом відношення еквівалентності є відношення рівності чисел чи множин,

геометричне відношення подібності трикутників, відношення паралельності прямих у

евклідовому просторі. Відношення“жити в одному місті” є також відношенням

еквівалентності. Множина всіх громадян(або мешканців) України, розбивається останнім

відношенням на підмножини, що не перетинаються. Два мешканця вважаються

еквівалентними по цьому відношенню, якщо вони живуть в одному й тому самому місті,

тобто вони мають одну й ту саму властивість– “мешкати у місті X”. З іншого боку не можна

жити одночасно в двох різних містах, тому множини мешканців різних міст не

перетинаються. Таким чином відношення“жити в одному місті” б’є множину всіх мешканців

України на ряд підмножин, що не перетинаються, таких, що у кожній підмножині всі

мешканці еквівалентні по цьому відношенню і жодні два мешканці різних підмножин не

знаходяться у цьому відношенні, тобто не еквівалентні один одному. Такі підмножини мають

назву класів еквівалентності.

Нехай ≡- відношення еквівалентності на A і x∈A. Тоді підмножина

елементів множини A, які еквівалентні x, називається класом еквівалентності для x:

[x] = {y| y∈A, x ≡ y}.

Відно́шення порядку в математиці — бінарне відношення, яке є транзитивним та антисиметричним.

(транзитивність),

(антисиметричність).

Відношення порядку називається нестрогим, якщо воно рефлексивне

.

І навпаки, відношення строгого порядку є антирефлексивним

.

Відношення порядку називається повним (лінійним), якщо

(повне відношення).

Повнота (лінійність) відношення порядку означає його рефлексивність, тому такий порядок завжди нестрогий.

Якщо умова повноти не виконується, і порядок є нестрогим, то відношення називають відношенням часткового порядку.

Зазвичай відношення строгого порядку (повного чи часткового) позначається знаком <, а відношення нестрогого порядку знаком ..