Поняття алгебраїчної операції

Ще в середній школі розглядають різноманітні числові множини: N, Z, Q, R, C. Якщо поставити завдання – проаналізувати, які спільні властивості мають ці множини і чим відрізняються, то прийдемо до висновку, що для цього числові множини слід розглядати не самі по собі, а відносно певних математичних дій або математичних операцій.

N Z Q R C.

Отже, зазначені множини чисел відрізняються одна від одної здійсненністю або нездійсненністю в них тих чи інших математичних операцій.

У цьому ж проявляється і спільність властивостей цих числових множин. Справді, є операції, які здійсненні у кожній з них. Це дві основні дії арифметики – додавання і множення, відносно яких інші арифметичні дії виступають як залежні, а саме – як обернені. Яку б названих множин ми не взяли, дії додавання і множення можна виконувати над довільними двома елементами цієї множини.

Крім того, основні закони цих дій – комутативний, асоціативний, дистрибутивний – справедливі в кожній з цих множин.

З цього випливає, що однією з найважливіших характеристик числових множин є можливість виконувати над її елементами ті чи інші операції (насамперед, + і *), не виходячи за межі цієї множини.

Наведемо властивості дій додавання і множення.

Властивості додавання:

1) для довільних елементів а і b даної множини існує єдиний елемент с цієї ж множини такий, що (с називають сумою, а а і b – доданками);

2) асоціативність додавання: ;

3) для довільного елемента а даної множини існує єдиний нульовий елемент q такий, що (роль q відіграє 0);

4) для довільного елемента а даної множини існує єдиний протилежний елемент -а такий, що .

Властивості множення:

5) для довільних елементів а і b даної множини існує єдиний елемент с цієї ж множини такий, що (с називають добутком, а а і b – множниками);

6) асоціативність множення: ;

7) для довільного елемента а даної множини існує єдиний одиничний елемент е такий, що (роль е відіграє 1);

8) для довільного елемента а даної множини існує єдиний обернений елемент а^-1 такий, що .

Властивості додавання і множення аналогічні, тому їх можна об’єднати, якщо назвати елементи q і е нейтральними, а –а і а^-1 – симетричними. Очевидно, нейтральний елемент симетричний сам собі.

Означення 3.1.1. Нехай М – множина елементів довільної природи. Кажуть, що в М введено якусь алгебраїчну операцію, якщо довільним двом елементам з даної множини поставлено у відповідність єдиний третій елемент .

Довільну бінарну операцію позначають *:

.

Отже, операція * є допустимою і однозначною.