Декартовий (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Означення 1.2.2. Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A´B) називають множину всіх пар , в яких перша компонента належить множині A (aÎA), а друга – множині B (bÎB).

Тобто

A´B = { | aÎA і bÎB } або ÎA´B Û

Декартовий добуток природно узагальнюється на випадок довільної сукупності множин. Якщо A₁, A₂,..., A_n – множини, то їхнім декартовим добутком називають множину

D = { áa₁,a₂,...,a_nñ | a₁ÎA₁, a₂ÎA₂,..., a_nÎA_n },

яка складається з усіх наборів áa₁,a₂,...,a_nñ, в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-ю компонентою набору, належить множині A_i, i=1,2,...,n. Декартовий добуток позначається через A₁´ A₂´...´ A_n.

Як зазначалося, набір áa₁,a₂,...,a_nñ, щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a₁,a₂,...,a_n, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі áa₁,a₂,...,a_nñ і áb₁,b₂,...,b_nñ однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a_i=b_i, i=1,2,...,n.

Декартовий добуток множини A на себе n разів, тобто множину A´A´...´A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають Aⁿ.

Прийнято вважати, що A⁰ = Æ (n=0) і A¹ = A (n=1).

Наприклад, якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то

A´B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},

A² = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.

Якщо R – множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R² – це множина пар (a,b), де a,bÎR, або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

Операція декартового добутку неасоціативна і не комутативна, тобто множини (A´B)´C і A´(B´C), а також множини A´B і B´A, у загальному випадку, не рівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:

1. (A È B) ´ C = (A´C) È (B´C),
2. (AÇB) ´ C = (A´C)Ç(B´C),
3. A ´ (B È C) =(A´B) È (A´C),
4. A ´ (BÇC) =(A´B)Ç(A´C).