1) 2-арну функцію з А у В, 2) 3-арну функцію з В у А,
3) тернарну операцію на В, 4) бінарний предикат на А,
5) матрицю розмірності 3´4 над А, 6) матрицю порядку 5 над В.
ІІІ. Побудувати:
1) функцію з N у Z, 2) 4-арну функцію з Q у R,
3) тернарну операцію на Z, 4) унарну операцію на Q,
5) бінарний предикат на R, 6) унарний предикат на N.
IV. Визначити, за яких умов:
1) n-арна функція з А у В є n-арною операцією на А,
2) n-арна функція з А у В є n-арним предикатом на А,
3) n-арна операція на А є n-арним предикатом на А,
4) бінарна операція на А є матрицею над А,
5) матриця порядку n над А є n-арною операцією на А,
6) матриця порядку n над А є n-арним предикатом на А.
V. Нехай f,g – функції. За яких умов:
1) f-1 є функцією, 2) f*g є взаємно однозначною функцією.
VI. Нехай існує взаємно однозначна відповідність між множинами А та В й між множинами С та D. Показати, що існує взаємно однозначна відповідність між множинами:
1) А´C та B´D, 2)АC та BD, 3) АÈC та BÈD, якщо АÇC=Æ й BÇD=Æ.
VII. Нехай A, B, C – множини. Побудувати взаємно однозначну відповідність між множинами:
1) A´B та B´A, 2) A´(B´C) та (A´B)´C,
3) (A´B)C та AC´BC, 4) (AB)C та AB´C,
5) ABÈCта AB´AC, якщо BÇC=Æ.
VIII. Довести, що для того, щоб відношення R, задане на множинах А та В, було взаємно однозначною відповідністю між А та В, необхідно й достатньо, щоб R*R-1=iА й R-1*R=iВ.
ІХ. Нехай F – взаємно однозначне відображення множини А на множину В, G – взаємно однозначне відображення множини В на множину С. Довести, що H=F*G є взаємно однозначне відображення А на С.
X. Побудувати приклади відображень та часткових відображень:
1) {a,b,c,d} у {g,h}, 2) {1,2,3} у {x,y,z,v,w}, 3) {1,2,3} у N,
4) N у Q, 5) Q у N, 6) Q у R,
7) R у N, 8) R у Q, 9) N´N у R,
10) A={a,b,c} у P(A).
XІ. На множинах A={1,2,3,4,5} та B={a,b,c} задані відношення. Які з них є: а) функціональними, б) відображеннями А у В?
XVI. Нехай f: A®B, g: B®C – відображення, xÎA. Визначити (f*g)(x).
XVII. Довести, що для будь-якого бінарного відношення R:
1) D(R)=Æ Û R=Æ Û R(R)=Æ, 2) D(R-1)=R(R), 3) R(R-1)=D(R).
XVIIІ. Нехай F, G – (часткові) відображення A у B. Довести, що F=G Û D(F)=D(G), R(F)=R(G), для кожного елемента x з області визначення F та G F(x)=G(x).
ХІХ. Нехай задано відображення f: A*A®A таке, що для будь-яких елементів x,y,z множини A f(x,y)=f(y,x), f(x,f(y,z))=f(f(x,y),z), f(x,x)=x. Визначимо xRy Û f(x,y)=x. Довести, що R – частковий порядок на А.
ХХ. Нехай R – бінарне відношення на n-елементній множині А. Сформулювати правила перетворення матриці відношення R на матрицю відношення: 1) Rr; 2) Rs.
ХХІ. Нехай R – перетворення множини А. Чи будуть перетвореннями множини А відношення Rr, Rs, Rt?
XХІI. Для заданого відображення множини А={a,b,c,d} у множину В={1,2,3,4,5} побудувати канонічний розклад.
