Линейные уравнения и системы

Чтобы интерпретировать математические закономерности реальных явлений в экономике, формируют соответствующие им математические модели относительно одной или нескольких переменных. Широкое распространение в экономических исследованиях получили линейные модели. Большинство линейных моделей сводятся к линейным алгебраическим уравнениям (неравенствам) или системам. И их удобно решать средствами пакета MathCAD.

В пакете MathCAD имеется ряд функций для решения уравнений:

· Find(x,y,…) – решение системы уравнений;

· Minerr(x,y,…) – приближенное решение системы уравнений;

· root(f(x),x,a,b) – решение одного уравнения с одним неизвестным;

· lsolve(M,V) – решение системы уравнений;

· polyroots(V) – приближенное решение одного уравнения с одним неизвестным, заданного полиномом.

Пример 30. Решить следующее линейное уравнение 4x-2=0.

1. Выведите на экран панель: Калькулятор.

2. Установите курсор на рабочей области и запишите уравнение в виде 4*X-2.

3. Подведите курсор к переменной x и выполните команду Символика>Переменная>Разрешить– на экране появится результат (рис. 43).

Рис. 43. Решение линейного уравнения

Пример 31. Решить систему линейных уравнений:

2х+3у=10;

х+10(у+5)=5;

взяв в качестве начальных приближений: х=0; y=1.

1. Для записи системы уравнений выведите панель Логические (рис. 44) с помощью соответствующей кнопки на панели Математика .

Рис. 44. Панель Логические

2. Задайте начальные приближения: x:=0 y:=1.

3. Наберите на клавиатуре служебное слово Given.

4. Введите последовательно оба уравнения системы, используя кнопку на панели Логические(не путать со знаком равно, который используется для получения результата).

5. Для вычисления значений x и y наберите функцию Find(x,y)=. Знак равно ввести с клавиатуры, или с панели Калькулятор.

Алгоритм и результат представлены на рис. 45.

Рис. 45. Решение системы уравнений

Пример 32. Решить систему двух линейных алгебраических уравнений первого порядка:

2x+3y=10;

x+y+log5=5.

1. Выведите на экран панели: Калькулятор и Логические.

2. Установите курсор и наберите произвольные начальные значения переменных, например: x:=0 и y:=1, используя панель Калькулятор.

3. Установите курсор под набранной информацией и наберите служебное слово Given.

2. Установите курсор под словом Given и наберите систему уравнений, используя знак равенства, изображенный на панели Логические(!).

3. Установите курсор и, используя функцию Find,наберите Find(x,y)=(здесь следует набрать обычный знак равенства) – на экране появится результат (рис. 46).

Рис. 46. Решение системы линейных уравнений

Пример 33. Решить следующую систему четыре линейных алгебраических уравнений:

1 .71x1 - 0.8x2 + 1 .44x3 - 0.7x4 = 1 .35

0.64x1 - 0.85x2 - 0.43x3 + 0.88x4 = 0.7

0.38x1 + 1.42x2 + 0.63x3-1.55x4 = 0.28

0.83x1 - 0.6x2 + 0.58x3 - 1 .22x4 = -0.47

Решение выполнить несколькими способами:

· с помощью Given и Find.

· с помощью функции lsolve.

· с помощью обратной матрицы.

· по формулам Крамера.

· методом Гаусса.

Алгоритмы реализации приведены ниже.