Деревья: общее понятие, терминология

Бинарные деревья

При решении многих задач (реализация СУБД, разработка компиляторов и т.п.) возникает необходимость в применении высокопроизводительных алгоритмов доступа к данным. Как известно, для ускорения доступа к информации применяются индексы. Есть много типов индексов: битовые, кластерные хеш-индексы, но, наверное, самым популярными и распространенными являются индексы на основе бинарных деревьев.

Деревья: общее понятие, терминология

Массивы и связанные списки определяют коллекции объектов, доступ к которым осуществляется последовательно. Такие структуры данных называют линейными (linear) списками, поскольку они имеют уникальные первый и последний элементы и у каждого внутреннего элемента есть только один наследник. Линейный список является абстракцией, позволяющей манипулировать данными, представляемыми различным образом — массивами, стеками, очередями и связанными списками.

Во многих приложениях обнаруживается нелинейный порядок объектов, где элементы могут иметь нескольких наследников. Например, в фамильном дереве родитель может иметь нескольких потомков (детей). На рис. 1 показаны три поколения семьи. Такое упорядочение называют иерархическим.

Рис.1. Иерархическая структура данных

Рассмотрим нелинейную структуру, называемую деревом (tree), которая состоит из узлов и ветвей и имеет направление от корня к внешним узлам, называемым листьями.

Древовидная структура характеризуется множеством узлов (nodes), происходящих от единственного начального узла, называемого корнем (root). На рис. 2 корнем является узел А. В терминах генеалогического дерева узел можно считать родителем (parent), указывающим на 0, 1 или более узлов, называемых сыновьями (children). Например, узел В является родителем сыновей E и F. Родитель узла H - узел D. Дерево может представлять несколько поколений семьи. Сыновья узла и сыновья их сыновей называются потомками (descendants), а родители и прародители – предками (ancestors) этого узла. Например, узлы E, F, I, J – потомки узла B. Каждый некорневой узел имеет только одного родителя, и каждый родитель имеет 0 или более сыновей. Узел, не имеющий детей (E, G, H, I, J), называется листом (leaf).

Каждый узел дерева является корнем поддерева (subtree), которое определяется данным узлом и всеми потомками этого узла. Узел F есть корень поддерева, содержащего узлы F, I и J. Узел G является корнем поддерева без потомков. Это определение позволяет говорить, что узел A есть корень поддерева, которое само оказывается деревом.

Рис.2. Пример дерева

Переход от родительского узла к дочернему и к другим потомкам осуществляется вдоль пути (path). Например, на рис. 2 путь от корня A к узлу F проходит от A к B и от B к F. Тот факт, что каждый некорневой узел имеет единственного родителя, гарантирует, что существует единственный путь из любого узла к его потомкам. Длина пути от корня к этому узлу есть уровень узла. Уровень корня равен 0. Каждый сын корня является узлом 1-го уровня, следующее поколение – узлами 2-го уровня и т.д. Например, на рис. 3 узел F является узлом 2-го уровня с длиной пути 2.

Глубина (depth) дерева есть его максимальный уровень. Понятие глубины также может быть описано в терминах пути. Глубина дерева есть длина самого длинного пути от корня до узла. На рис. 3 глубина дерева равна 3.

Рис.3. Уровень узла и длина пути