Обчислення функцій та виразів у заданому діапазоні

Алгебраїчні обчислення у системі Mathcad

Мета роботи: набуття навичок обчислення у системі MathCad.

Теоретичні основи:

Середовище MathCAD дозволяє записувати математичні вирази в їх загальноприйнятій формі (наприклад: чисельник знаходиться вгорі, знаменник-знизу; у інтегралі межі інтегрування теж розташовані на своїх «звичних» місцях), що дає можливість простого аналізу запису не тільки з боку комп’ютера але й з боку людини.

Ось неповний список обчислювальних інструментів, які доступні у середовищі MathCAD:

- розв’язування алгебраїчних рівнянь та систем (лінійних та нелінійних);

- розв’язування звичайних диференціальних рівнянь та систем (задача Коші та краєві задачі);

- розв’язування диференціальних рівнянь у частинних похідних;

- статистична обробка даних (інтерполяція, екстраполяція, апроксимація та багато іншого);

- робота з векторами та матрицями (лінійна алгебра та ін.);

- пошук мінімумів та максимумів функціональних залежностей;

- пакет MathCAD доповнений довідником по основним математичним та фізико-хімічним формулам та константам, які можливо автоматично переносити у документ без небезпеки внести в них спотворення;

- інтегровані засоби символьної математики, що дозволяє розв’язувати поставлену задачу аналітично.

- до пакету MathCAD можна придбати ті чи інші електронні підручники по різноманітним дисциплінам: розв’язування звичайних диференціальних рівнянь, статистика, термодинаміка, теорія управління, опір матеріалів та ін. Розв’язуючи поставлену задачу, користувач може вводити не тільки числові значення змінних, але й їх розмірності. Система MathCAD «наділена» можливостями анімації, що дозволяє реалізувати створені моделі не тільки у статичній картинці (числа, таблиці, графіки), але й у динаміці (анімаційні кліпи, наприклад, для спостереження за рухом тіла та ін.).

У системі MathCADсимвол привласнення := відрізнений від звичайного в математиці знаку рівності =. Ця обставина зв’язана з тим, що знак рівності інтерпретується в математичних виразах по контексту. Наприклад, x= y означає або привласнення змінної х значення раніше певної змінної у, або просто факт логічної рівності значення х значенню у. Така подвійність неприпустима в машинних програмах. Тому в системах MathCAD довгий час знак = використовувався тільки як знак висновку результатів обчислень, а для привласнення змінним значень застосовується знак :=. Нарешті, для позначки відношення величини х і у як рівності використовується жирний знак рівності. В останній версії MathCAD знак = допустимо застосовувати і як знак привласнення. Система автоматично замінює його на знак := при першій операції привласнення. Це відбувається завдяки тому, що система “знає”, що перед першим привласненням змінна не визначена і, отже, знак = в якості знаку висновку значення змінної не може використовуватися. Так що його можна застосовувати для привласнення. Наприклад, якщо ви введете в перший раз x=2, то система представить це у вигляді x := 2 . Цікаво відзначити, що для введення знаку := потрібно натиснути клавішу двокрапку (:). Можна впасти у розпач, коли дізнаєшся, що таких правил введення десятки. Пояснюється це тим, що багатьох математичних спецсимволів немає у виді надписів на клавіатурі. Клавіатура ПК пристосована для введення простих текстів, а зовсім не для введення складних математичних формул і стосовних до них математичних знаків, наприклад квадратного кореня, знаків суми, інтегралу і т. д.

Обчислення функцій та виразів у заданому діапазоні

Часто виникає потреба у введенні впорядкованого ряду значень, що змінюється з певним кроком. Для цього використовують оператор діапазону.

Оператор діапазону «..» знаходиться в арифметичній палітрі (кнопка ) математичної панелі. Він також може бути введений натисканням клавіші з крапкою та комою «;» на клавіатурі. Щоб утворити таблицю, просто наберіть на клавіатурі z=, f(z)= і т. д.

Також потрібно відмітити, що для отримання:

- ряду значень змінної m від 1 до 5 з кроком 1, потрібно натиснути таку комбінацію клавіш “m:1; 5”;

- ряду значень змінної x від 1 до 5 з кроком 0.1—“x:1, 1.1; 5”(після коми вказується не крок, а наступне значення після виконання одного кроку).

Розглянемо можливості середовища MathCAD при побудові графіків.

Середовище MathCAD містить у собі засоби для побудови семи видів графіків, які використовуються для візуального відображення різноманітних залежностей.

Наприклад, натиснувши кнопку — «X-Y Plot» — палітри графіків (кнопка ) математичної панелі ми можемо створити графік у декартових координатах, який має змогу показати зв'язки між двома, або більше, величинами.

Декартів графік, як правило, будується у три кроки:

- Задання виду функції однієї змінної;

- Формування вектора значеннь аргумента;

- Сама побудова графіка після відповідного заповнення полів: значення аргументу (-тів) та значення функції (-цій). Аргументи, в свою чергу, можуть бути функцією іншого аргумента.

Форматування ліній графіків передбачає зміну масштабної сітки, додавання титульного напису, вставлення напису по осях і т.д. Для виведення вікна форматування двовимірного графіка – двічі клацнути в області графіка мишею або застосувати підменю Graf в меню Format.

Приклад:

Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=1+cos(t), y=tg(t)+sin(t), якщо t належить відрізку [1,7; 3] і змінюється з кроком h=0,13.

Результати роботи:

Контрольні завдання:

1. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а h=(b-a)/n:

y=|sin(x)|+|cos(x)|, a=0, b=π, n=40.

2. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=2cos²(t)+3cos(t), y=2cos(t)sin(t)+3sin(t), якщо t належить відрізку [0; 2π] і змінюється з кроком h=2π/50.

3. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а h=(b-a)/n:

, a=-1, b=2, n=30.

4. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=2cos(t), y=4sin(t), якщо t належить відрізку [0; 2π] і змінюється з кроком h=2π/50.

5. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а h=(b-a)/n:

, a=1, b=4, n=50.

6. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а h=(b-a)/n:

, a=-1, b=3, n=40.

7. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=cos³(t), y=sin³(t), якщо t належить відрізку [0; 2π] і змінюється з кроком h=2π/50.

8. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а h=(b-a)/n:

, a=-3, b=3, n=50.

9. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а h=(b-a)/n:

, a=-6, b=6, n=25.

10. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=12cos(t)-3cos(4t), y=12sin(t)-3sin(4t), якщо t належить відрізку [0; 2π] і змінюється з кроком h=2π/50.

11. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

y=cos(x²+ x²/4), a=-π, b=π, n=50.

12. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

y=cos²(arctg(1/x)), a=-π, b=π, n=50.

13. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=t²/(1+t²), y=t³/(1+t³), якщо t належить відрізку [-2; 2] і змінюється з кроком h=0.1.

14. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

y=x–x²/3!+x⁵/5!,(k!=1∙2∙…∙k), a=-6, b=6, n=25.

15. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

y=(cos(x)+0.25)sin(x), a=-π, b=π, n=50.

16. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=cos(t), y=sin(t), якщо t належить відрізку [0; 2π] і змінюється з кроком h=2π/50.

17. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=3cos²(t)+2cos(t), y=3cos(t)sin(t)+2sin(t), якщо t належить відрізку [0; 2π] і змінюється з кроком h=2π/50.

18. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=cos(t)(1+cos(t)), y=sin(t)(1+cos(t)), якщо t належить відрізку [0; 2π] і змінюється з кроком h=2π/50.

19. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

y=2sin(x)+3cos(x), a=-π, b=π, n=50.

20. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

, a=-π/2, b=2π, n=50

21. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

, a=-6, b=6, n=25.

22. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

, a=-π, b=π, n=50.

23. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=(t²-1)/(t²+1), y=t (t²-1)/(t²+1), якщо t належить відрізку [-2; 2] і змінюється з кроком h=0.1.

24. Дана функція y=f(x), що належить відрізку [a; b]. Вивести таблицю значень функції y_i=f(x_i)та побудувати її графік, якщо x_i=a+ih, де i=0, 1, …, n, а

h=(b-a)/n:

, a=-1, b=3, n=40.

25. Побудувати криву L={M(x(t),y(t))} за заданим параметричним представленням: x=4cos(t)+2cos(2t), y=4sin(t)-2sin(2t), якщо t належить відрізку [0; 2π] і змінюється з кроком h=2π/50.

Порядок виконання роботи

1. Запустіть MathCad і ознайомтеся із зовнішнім виглядом екрана.

2. Вставте текст «Практична робота №2. Студент П.І.Б., група».

3. Скопіюйте через буфер обміну індивідуальне завдання у новостворене вікно.

4. Виконайте обчислення, побудуйте графік та збережіть отриманий файл.

Контрольні питання:

1. Як присвоюють значення змінним у формульному редакторі?

2. Опишіть порядок виконання практичної роботи.