В качестве простейших функций в теории рекурсивных функций приняты следующие:
1. – константа «ноль».
2. – « последователь ».
3. – функция тождества или выбора аргумента, проекция.
Оператор суперпозиции (подстановки)– подстановка в функцию от переменных функций от переменных, что дает новую функцию от переменных.
Суперпозицией функций и называют функцию:
;
.
Оператор примитивной рекурсии , определяющий значение функции , записывается в виде следующей схемы:
Примитивно-рекурсивная функция –арифметическая функция, которая может быть получена из простейших с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.
Примитивно-рекурсивные функции являются всюду определенными.
Пример 1. Константа a получается путем суперпозиции функций и :
Пример 2. Операция сложения может быть определена с помощью оператора примитивной рекурсии:
Таким образом, функция получена из простейших и путем применения оператора примитивной рекурсии, что соответствует определению примитивно-рекурсивной функции.
Пример 3. Примитивная рекурсивность операции умножения доказывается с использованием сложения:
Пример 4. Примитивная рекурсивность операции возведения в степень доказывается следующим образом:
Пример 5. Операция вычитания не является примитивно-рекурсивной, т.к. она не всюду определена: результат операции a-b при не определен в области натуральных чисел. Однако примитивно-рекурсивной является так называемое арифметическое (усеченное) вычитание или разность.
Арифметическое вычитание:
Для доказательства примитивной рекурсивности вначале рассмотрим операцию : ;
т.е. операция – примитивно-рекурсивна.
Дополнительное свойство:
.
арифметическое вычитание – примитивно-рекурсивно.
Пример 6. Функция – аналог функции для натуральных чисел.
Функция примитивно-рекурсивна:
– антисигнум, функция обратная .
.
Пример 7. Примитивная рекурсивность функций , и модуль двух чисел доказывается с помощью арифметического вычитания:
Отношение называется примитивно-рекурсивным, если примитивно-рекурсивна его характеристическая функция :
Пример 8. Отношение – примитивно-рекурсивно.
Действительно, .
Отношение примитивно-рекурсивно.
Действительно, .
Отношение примитивно-рекурсивно.
Действительно, .
Оператор минимизации (m-оператор, оператор наименьшего корня) определяет новую арифметическую функцию от n переменных с помощью ранее построенной арифметической функции от n+1 переменных. Пусть существует некоторый механизм вычисления функции , причем значение функции неопределенно, если этот механизм работает бесконечно, не выдавая никакого определенного значения.
Зафиксируем набор значений аргументов и рассмотрим уравнение относительно y: ; чтобы найти решение этого уравнения, натуральное , будем вычислять последовательность значений:
для ..
Наименьшее целое неотрицательное значение , удовлетворяющее этому уравнению: обозначим:
.
Говорят, что функция получена из функции операцией минимизации, если:
.
Оператор минимизации работает бесконечно в одном из следующих случаев:
1) значение не определено;
2) значение для определены, но не равны нулю, а значение – не определено;
3) значение определены для всех , но не равны нулю.
Оператор минимизации является удобным средством получения обратных функций: вычитание, деление, извлечение корня и так далее.
Пример 9. Определение операции «вычитание»:
.
Пример 10. Определение операции «деление»:
.
Пример 11. Определение операции « извлечение корня »:
.
Пример 21. Определение операции « логарифм »:
Пример 13. Процесс вычисления функции с помощью оператора минимизации приведен ниже:
Частично-рекурсивная функция – функция, которая может быть построена из простейших с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.
Частично-рекурсивная функция является не всюду определенной, причем там, где она не определена, процесс ее вычисления продолжается бесконечно.
Связь между алгоритмами и рекурсивными функциями выражается тезисом Черча: какова бы ни была вычислимая неотрицательная целочисленная функция от неотрицательных целочисленных аргументов, существует тождественно равная ей частично-рекурсивная функция.