Функции MathCAD для решения задач оптимизации.

MathCAD с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Второй вариант таит в себе опасность уйти в окрестность другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее при решении практических задач.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

- Minimize (f, x₁, ... ,х_n) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

- Maximize (f, x₁, ... ,х_n) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

- f(x₁, ... ,х_n)– заданная целевая функция;

- x₁, ... ,х_n – аргументы, по которым производится минимизация(максимизация).

Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения.

Пример 7. Поиск локального экстремума в окрестности заданной точки.

Найти максимум функции в окрестности точки (4;5).

Ответ: функция имеет максимум, равный 4, в точке(1;1).

Пример 8. Поиск условного экстремума функции.

Найти минимум функции при условиях .

Решение.

1. Задаем целевую функцию, матрицу системы ограничений и вектор правой части этой системы

2.
Задаем начальное приближение решения

3. С помощью вычислительного блока находим минимальное значение функции и значение вектора, на котором достигается это значение.

Ответ: минимум функции равен 32.155 и достигается в точке (1,0.623,0.343,1,0.048,1).

Контрольные вопросы.

1. Что значит отделить корень уравнения ?

2. Какие функции могут быть использованы для решения нелинейных уравнений?

3. Опишите конструкцию вычислительного блока.

4. В чем состоит градиентный метод?

5. В чем различие между функциями Find и Minner для решения систем нелинейных уравнений?

6. Где необходимо расположить ограничительные условия при решении задачи оптимизации?

7. Как ограничено число ограничительных условий для решения задачи оптимизации?

Вариантызаданий

Вариант 1

1. Решить уравнение , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений:

4. Найти максимум функции .

Вариант 2

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при ограничении .

Вариант 3

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при ограничении .

Вариант 4

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции .

Вариант 5

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти минимальное и максимальное значения функции .

Вариант 6

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: .

4. Найти максимум функции при условиях , , .

Вариант 7

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , .

Вариант 8

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , .

Вариант 9

1. Решить уравнение , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку

4. Найти минимум функции при условиях , , .

Вариант 10

1. Решить уравнение, предварительно оделив корни 7 , , используя встроенные функции rootи Find. Сравнить полученные решения.

2. Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.

3. Решить систему нелинейных уравнений:

. Выполнить проверку.

4. Найти минимум функции при условиях , , .

Тема 4: Элементы программирования в пакете инженерных расчетов MathCAD.

Цель работы: Изучение возможностей символьного пакета MathCAD для программирования условных и циклическтх выражений. Приобретение навыков написания простейших программ.

Используемые программные средства: Пакет MathCAD.

Теоретические сведения.

Для повышения гибкости Mathcad в системе предусмотрена возможность написания небольших программ для решения тех проблем, которые не могут быть реализованы стандартными средствами. Обычно прибегать к программированию приходится в тех случаях, когда стандартные средства либо не могут решить задачу, либо неэффективны. Для написания программ используется программная палитра, которая вызывается кнопкой панели управления. Как видно, всего имеется 10 операторов, из которых и строится программа. Причём операторы должны вводиться только из палитры, писать их "вручную" не рекомендуется.