Решение систем нелинейных уравнений

MathCAD дает также возможность численно решать также и системы нелинейных уравнений с помощью функции Find(z1, z2, . . .,zn),которая возвращает приближенное решение системы уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных..[5] Это число должно быть равно числу аргументов функции Find.

Решение проводится в следующем порядке:

Ø Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений.

Ø Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает MathCAD, что далее следует система уравнений.

Ø Ввести уравнения и неравенства в любом порядке с использованием знаков логических операций между их левыми и правыми частями знаков =, <, >, ³, £ палитры Boolean (Логический) Для печати символа = [6] можно использовать сочетание клавиш Ctrl+”=”

Ø Ввести выражение, которое включает функцию Find, например:

а:=Find(х, у).

Пример на рис. 20 иллюстрирует решение системы уравнений

Для нахождения начального приближения преобразуем уравнения системы к виду f ₁(x) = y и f ₂ (y)= x

В документе MathCAD построим графики функций f ₁(x) = y и f ₂ (y)= x и найдем окрестность точки пересечения.

Рис. 20. Определение начального приближения для решения системы уравнений

В качестве начального приближения можно взять произвольную точку из этой окрестности. Затем записывается вычислительный блок Given - Find, находится решение и делается проверка (рис. 21).

Начальное приближение

Проверка

Рис. 21. Решение системы нелинейных уравнений

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

В блоке решения недопустимо использовать следующие выражения:

Ø Ограничения со знаком ¹.

Ø Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

Ø Неравенства вида a < b < c.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.

Используя функцию Find можно произвести следующие три действия:

Ø Вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Find(var1, var2,…,varn) =

Ø Определить скалярную или векторную переменную с помощью функции Find, если требуется использовать решение системы уравнений в дальнейших расчетах:

a := Find(x) – скаляр,

x := Find(var1, var2,…) – вектор.

Ø Определить новую функцию с помощью Find:

f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …).

Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений при различных значениях некоторых параметров a, b, c,…, входящих в систему уравнений.

Если после многих итераций не найдено подходящего решения, то MathCAD выводит сообщение об ошибке (Решение не найдено). Оно может быть вызвано следующими причинами:

Ø Система не имеет решения.

Ø Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.

Ø В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки.

Ø Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.

Еще одну возможность поиска решения дает применение функции ункция Minerr,использующей тот же алгоритм, что и Find. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerr такие же, как и функции Find: Minerr(z1, z2, . . .). Число аргументов должно быть равно числу неизвестных. Если Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.