Основные понятия. Ряды с неотрицательными членами

Рассмотрим произвольную числовую последовательность {u_n}. Составленное выражение

называют числовым рядом или просто рядом. Члены последовательности {u_n} называют членами ряда. Сумма первых n членов ряда

называется n-й частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует и конечен предел последовательности {S_n} частичных сумм этого ряда. При этом предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда.

Обозначаем

или

Если предел последовательности частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Справедливо следующее утверждение. Для того чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы последовательность его членов {u_n} стремилась к нулю при n → ¥. Другими словами, если ряд сходится, то его члены стремятся к нулю на бесконечности. Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом расходится.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий исследование расходящегося и сходящегося рядов; для каждого исследуемого ряда построен график последовательности частичных сумм и членов ряда.

Ряд расходится

Ряд Лейбница

Ряд сходится

Замечание. Для того чтобы вычислить символьно сумму ряда, щелкните по кнопке в панели , введите с клавиатуры в помеченных позициях переменную суммирования и границы ее изменения, введите имя или выражение для члена ряда, как функции переменной n, выделите ряд рамкой, щелкните по клавишам <Ctrl> + <ю> и по рабочему документу вне выделяющей рамки.

В приведенном фрагменте исследована сходимость двух часто встречающихся рядов – расходящегося ряда который называется гармоническим рядом, и сходящегося ряда называемого рядом Лейбница. Другие часто встречающиеся ряды – обобщенный гармонический ряд который сходится при и расходится при* , и ряд типа прогрессии который сходится при и расходится при

Исследовать на сходимость числовые ряды с неотрицательными членами можно, используя теоремы сравнения и признаки сходимости.

1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами и Если при всех n, начиная с некоторого, справедливо неравенство то из сходимости ряда следует сходимость ряда и наоборот, из расходимости ряда следует расходимость ряда

2. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами и Если то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

При использовании теорем сравнения исследуемый ряд чаще всего сравнивают с простейшими рядами – с обобщенным гармоническим или с рядом типа прогрессии.

Признак сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами вычислим предел Если то ряд сходится, если – расходится. При вопрос о сходимости ряда остается открытым: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Признак сходимости Коши. Для ряда с положительными членами вычислим предел Если то ряд сходится, если – расходится. При вопрос о сходимости ряда остается открытым: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий исследование рядов с использованием обоих признаков сходимости.

Ряд сходится

Сумма ряда символьно не вычисляется

ЗАДАНИЕ 1. Исследуйте на сходимость числовые ряды , .