Если функция дважды дифференцируема на промежутке (a, b), за исключением, может быть конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости или вогнутости.
График функции f(x) называется выпуклым (выпуклым вниз) на промежутке (a, b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке (x, f(x)), x Î (a, b). Если же график функции лежит ниже касательной, то он называется вогнутым (выпуклым вверх).
Справедливо следующее утверждение. Если дважды дифференцируемая на промежутке (a, b) функция f(x) имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпукла на (a, b). Если же вторая производная отрицательна на промежутке (a, b), то функция на нем вогнута.
Если вторая производная равна нулю в точке x = x0, а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, то точка x = x0 – точка перегиба.
На рис. 8 представлен график функции с тремя точками перегиба, на примере функции 
.
ЗАДАНИЕ 3. Изобразите график заданной функции и подтвердите построение аналитическим исследованием: постройте график второй производной, найдите нули второй производной. Найдите координаты точек перегиба.
