Підготовчі операції для уточнення розв”язків СЛАР ітераційними методами (методом простих ітерацій та методом Зейделя)

Процес прямої iтерацiї буде збіжним, якщо модулі діагональних елементів матриці А будуть більші за суму модулів її сторонніх елементів

або норма матриці alfa буде менша за 1. Для приведення матриці до такого вигляду застосовують правила лінійного комбінування (перестановка рядків).

Для реалiзацїi ітераційного методу систему, що задовольняє умовам збіжності, приводять до вигляду:

або в матричній формі :

X= beta + alfa * X , де beta _i = B _i / A _ii , alfa _ij = -A _ij / A _ii, на головній дiгоналi 0.

За початкове наближення коренів приймаємо значення вільних членів:

Х⁰ = beta та підставляємо їх у систему:

Значення вектора Х¹ – отримані на першій iтерацiї, підставляються у систему для отримання значень наближень коренів на другій ітерації Х² i т.д.

Iтерацiї проводимо до тих пір, поки модуль рiзницi значень невідомих на поточній та попередній iтерацiї не стане менший від заданої точності ε.

В загальному вигляді маємо:

, де k – номер ітерації.

Метод Зейделя - модифiкацiя метода простих iтерацiй. Вiдрiзняється тим, що значення невідомого, отримане на k–й iтерацiї, не чекаючи (k+1)–ї iтерацiї, пiдставляється у наступнi рівняння k–ї iтерацiї, за рахунок чого забезпечує більш швидку збiжнiсть.

Оскільки для даної системи умови збіжності не виконуються, застосовуємо до неї правила лінійного комбінування: перший рядок ставимо на місце другого, другий на місце третього, третій на місце першого.

Визначаємо вектор вільних членів beta та матрицю коефiцiєнтiв alfa за допомогою формул:

Перевіряємо умову сходження ітераційного процесу:

< 1 - процес збіжний

e:=0.001 - задаємо точність обчислень