Решение нелинейного уравнения

Нелинейным уравнением называется выражение вида , где - некоторая нелинейная функция. Корнем или решением уравнения называется всякое значение , обращающее уравнение в тождество, т. е. . В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь нелинейных уравнений с изолированными корнями, т. е. случая когда для каждого корня уравнения существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Если функция , определённая и непрерывная на некотором конечном или бесконечном интервале , имеет вид , где - действительные или комплексные числа, то оно называется алгебраическим. К трансцендентным уравнениям относятся неалгебраические нелинейные уравнения.

К численным методам решения нелинейных уравнений приходиться обращаться в случае отсутствия у них аналитических выражений для решений или же если выполнение вычислений по ним является крайне трудоёмким делом.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней обычно складывается из двух этапов:

1. отделение корней, т. е. нахождение возможно узких промежутков , в которых содержится один и только один крень уравнения , i=1, 2, …;

2. уточнение приближенных корней, т. е. нахождение их положения с заданной степени точности (абсолютной или относительной). Под этим могут пониматься выполнение одного из двух условий: или .

Для отделения корней полезна известная теорема существования корней нелинейного уравнения из математического анализа.

Теорема. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , т. е. , то найдётся хотя бы одно число такое, что .

Корень заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала , т. е. если (или ) при .

Пример 1. Отделить корни уравнеия на отрезке

[-10, +10].

Решение. Строим графики функций и её первой производной , как показано на рис. 1. Из его рассмотрения видно, что корни уравнения находятся на отрезках [-3, -2], [0, 1] и [2, 3].

Для реализации второго этапа решения нелинейного уравнения вида в пакете Mathcad 2000 имеется функция root, которая, в зависимости от типа решаемой задачи, имеет либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает по-разному:

root(f(x), x),

root(f(x), x, a, b),

где f(x) – левая часть уравнения ; х – скалярная величина, относительно которой решается уравнение; a, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск значения корня.

Если используется первая форма функции root,то следует перед ней задавать начальное приближение для искомого корня, присвоив хнекоторое значение (для второй формы этого делать не надо).

Рис. 1. Отделение корней нелинейного уравнения

Первая форма функции root для численного поиска корня нелинейного уравнения использует метод секущих, а второй формы – альтернативный метод Риддера или Брента. В обоих случаях итерационный процесс заканчивается при выполнении условия , где TOL>0 – вспомогательная константа, значение которой устанавливает пользователь (по умолчанию TOL=0.001). Кроме того, при использовании первой формы функции root,значенияграниц исходного интервала для поиска корня определяются следующим образом: .

Метод секущих уточнение корня нелинейного уравнения. Пусть имеется уравнение , где – нелинейная функция, которая определена и непрерывна на , и определена и знакопостоянна на . Обозначим . Тогда значение n-ого ( ) приближения к корню уравнения вычисляется по формуле

.

На рис. 2 представлена графическая иллюстрация этого метода. Через две исходные точки с координатами и проводится прямая линия – первая секущая. Абсцисса точки её пересечения с осью 0хпринимается за первое приближение к корню . Вторая секущая проводится через точки с координатами и и т. д.. Итерационный процесс не является монотонным и прекращается при выполнении условия (или ), где − некоторое наперёд заданное число.

0 x

Рис. 2. Уточнение положения корня нелинейного уравнения методом секущих

Пример 2. Уточнить положение корня уравнения на отрезке [-3, -2] с точностью . Порядок решения этой задачи с использованием разных форм функции root показан на рис. 3.

Рис. 3. Уточнение положения корня нелинейного уравнения