Принцип включений исключений

Рассмотрим задачу.

Пример. Из 35 студентов 20 изучает английский язык, 15 – немецкий, 10 – французский, 7 – английский и немецкий, 5 – английский и французский, 4 – немецкий и французский, 3 – английский, французский и немецкий. Сколько студентов не изучает ни один из перечисленных языков?

Существует формула, называемая формулой включений-исключений, которая дает ответ на этот вопрос:

N(0)=N-(N1+N2+N3)+(N12+N13+N23)-N123.

Что она означает? N – общее число студентов. N1- число студентов, изучающих английский язык, N12 – английский и немецкий и т.д., N(0) – число студентов не изучающих ни один из перечисленных языков.

Для иллюстрации рассуждений такого типа используются рисунки, называемые диаграммами Венна.

Например, множество всех студентов в группе обозначено прямоугольником.

Множество А обозначает всех студентов, знающих немецкий язык, множество В – всех студентов, знающих английский язык. Множество АВ (в центре рисунка) обозначает множество студентов, знающих оба иностранных языка, заштрихованная часть рисунка – студентов, знающих хотя бы один иностранный язык.

Наконец, не заштрихованная часть внутри прямоугольника – множество студентов группы, не знающих ни одного иностранного языка.

Пример. В группе из 25 человек 16 человек знает французский язык, 22 знают английский язык, один не знает ни одного иностранного языка. Сколько студентов знают хотя бы один из двух иностранных языков?

Задача: Секретарь рассыпал письма из конвертов, и обратно положил их наугад, по одному письму в конверт. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадёт не в свой конверт.

Примечание: ответ практически не зависит от количества писем и приближённо равен 1 – 1/e, причём уже начиная с n = 6 совпадение с точностью до 4 знаков после запятой.