Непрерывные дроби и перевод рационального числа в конечную дробь

Определение

Непрерывной дробью называют дробь вида

Если эта дробь где-либо заканчивается, её называют конечной непрерывной дробью.

Конечные непрерывные дроби соответствуют рациональным числам.

Пример.

Возможно и обратное действие: получение непрерывной дроби из рационального числа.

Обычно такую непрерывную дробь записывают в виде (2; 1, 1, 1, 2). Целая часть отделяется точкой с запятой.

Теперь покажем другой способ нахождения коэффициентов непрерывной дроби. Применим алгоритм Евклида к числам 21 и 8.

21 = 8 ∙ 2 + 5

8 = 5 ∙ 1 + 3

5 = 3 ∙ 1 + 2

3 = 2 ∙ 1 + 1

2 = 1 ∙ 2

Обратите внимание на связь коэффициентов непрерывной дроби с неполными частными в алгоритме Евклида!

Если у этой дроби начиная с некоторого места образуется период, её называют периодической непрерывной дробью.

Периодическую непрерывную дробь можно выразить в виде корня некоторого квадратного уравнения.

Пример.

Тогда

Поскольку число положительное, из двух значений берём положительное.

Можно получить разложение иррационального числа в периодическую дробь следующим способом.

a₀ равно целой части некоторого числа α.

Поэтому

Далее заметим, что a₁ равно целой части числа α₁.

Далее, a₂ равно целой части числа α₂, и так далее, пока не получим цикл, то есть равенство вида α_k = α_n. Это означает, что получен период.

Для чисел, являющихся корнями квадратных уравнений (в том числе для квадратных корней из натуральных чисел) период получится обязательно.

Пример.

Пусть .

Целая часть α равна 1. Поэтому

Целая часть α₁ равна 1.

Примечание.

В задачах такого вида целую часть нужно искать именно домножением на сопряжённые, а не на калькуляторе, потому что для больших целых чисел, например, для трёхзначных, может накопиться ошибка округления, и значения целой части найдёте неверно.

Целая часть α₂ равна 2.

Образовался цикл.

Ответ для периодической непрерывной дроби записывают в виде:

При этом целая часть отделена точкой с запятой, а период заключён во внутренние скобки.

Подходящей непрерывной дробью для данного числа α называют непрерывную дробь, которую мы оборвали на одном из коэффициентов. Для вычислений на практике, разумеется, так обычно и поступают.