Цели:ознакомление с математическими моделями цифровых систем управления.
Задачи: изучить терминологию математического моделирования и дискретных систем.
Учебные вопросы: Основные термины математического моделирования. Математическое описание систем дискретного управления. Модели состояния линейной дискретной системы.
Учебная информация: Основные термины математического моделирования. Уточним определения основных терминов математических моделей:
- компоненты системы, которые могут быть вычленены из нее и рассмотрены отдельно;
- независимые переменные, это внешние величины, которые могут изменяться и не зависят от процессов в системе;
- зависимые переменные, значения этих переменных есть результат воздействия на систему независимых внешних переменных;
- управляемые переменные, значения которых могут изменяться пользователем;
- эндогенные переменные, их значения определяются в ходе деятельности внутренних компонент системы;
- экзогенные переменные определяются пользователем и действуют на систему извне.
Построение моделей. При построении любой модели процесса управления желательно придерживаться следующего плана действий:
1) Сформулировать цели изучения системы.
2) Установить наиболее существенные для данной задачи факторы, компоненты и переменные.
3) Учесть тем или иным способом посторонние, не включенные в модель факторы.
Виды моделей. Модели можно делить на следующие виды:
1) Функциональные модели - выражают прямые зависимости между эндогенными и экзогенными переменными.
2) Модели, выраженные с помощью систем уравнений относительно эндогенных величин.
3) Модели оптимизационного типа. Основная часть модели - система уравнений относительно эндогенных переменных. Цель - найти оптимальное решение для некоторого показателя.
4) Имитационные модели - весьма точное отображение процесса или явления. Математические уравнения при этом могут содержать сложные, нелинейные, стохастические зависимости.
С другой стороны, модели можно делить на управляемые и прогнозные. Управляемые модели отвечают на вопрос: “Что будет, если ...?”; “Как достичь желаемого?”, и содержат три группы переменных:
1) переменные, характеризующие текущее состояние объекта;
2) управляющие воздействия - переменные, влияющие на изменение этого состояния и поддающиеся целенаправленному выбору;
3) исходные данные и внешние воздействия, т.е. параметры, задаваемые извне, и начальные параметры.
В прогнозных моделях управление не выделено явно. Они отвечают на вопросы: “Что будет, если все останется по-старому?”
Модели можно делить по способу измерения времени на непрерывные и дискретные. В любом случае, если в модели присутствует время, то модель называется динамической. Чаще всего в моделях используется дискретное время, т.к. информация поступает дискретно. Но с формальной точки зрения непрерывная модель может оказаться более простой для изучения.
Имитационные системы занимают в моделировании особое место. В принципе, любая модель имитационная, ибо она имитирует реальность. Основа имитации (смысл которой мы будем понимать как анализ явления с помощью вариантных расчетов) - это математическая модель.
Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты.
Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени, при этом имитационный эксперимент состоит из следующих шести этапов:
1) формулировка задачи,
2) построение математической модели,
3) составление программы для ЭВМ,
4) оценка пригодности модели,
5) планирование эксперимента,
6) обработка результатов эксперимента.
Математические методы управления можно разделить на несколько групп:
3) методы построения и анализа имитационных моделей,
4) методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр).
Во всех этих группах можно выделить статическую и динамическую постановки. При наличии фактора времени используют дифференциальные уравнения и разностные методы.
Дискретно представляемые сигналы описываются функциями дискретной переменной. Для описания дискретных систем используются решетчатые функции и разностные уравнения.
Методология моделирования. Моделирование процессов управления предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования. Первый - от исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи. Второй – математическое изучение и решение этой задачи. Третий – переход от математических выводов обратно к практической проблеме.
Решетчатой функцией называется функция, получающаяся в результате замены непрерывной переменной на дискретную независимую переменную, определенную в дискретные моменты времени kТ, k = 0, 1, 2, … Непрерывной функции x(t) соответствует решетчатая функция х(kТ), где Т – период квантования, при этом непрерывная функция является огибающей решетчатой функции. При заданном значении периода квантования Т непрерывной функции x(t) соответствует однозначная решетчатая функция х(kТ). Однако обратного однозначного соответствия между решетчатой и непрерывной функцией не существует, так как через ординаты решетчатой функции можно провести множество огибающих.
Разностные уравнения. Связь между значениями решетчатой функции при разных значениях аргумента определяется с помощью конечных разностей, которые являются аналогами производных в дифференциальных уравнениях.
Разностью первого порядка, или первой разностью, называется разность между последующим дискретным значением решетчатой функции и ее текущим значением: Dx(k) = x(k+1) – x(k).
Разность первого порядка характеризует скорость изменения решетчатой функции и, следовательно, является аналогом первой производной непрерывной функции.
Разность второго порядка определяется как разность двух соседних разностей первого порядка: D2x(k) = Dx(k+1) - Dx(k) = [x(k+2)-x(k+1)] – [x(k+1)-x(k)] = x(k+2) - 2x(k+1) + x(k).
Продолжая аналогично, для разности любого m-го порядка будем иметь: Dmx(k) = Dm-1x(k+1) - Dm-1x(k). Dmx(k) = (-1)n x(k+m-n) m!/[k!(m-n)!].
Математические модели дискретных систем управления описывают поведение этих систем только в квантованные моменты времени: tk, k = 0, 1, 2, ... Дискретным представлением непрерывных сигналов u(t), y(t), х(t) являются последовательности: {u(tk)}, {y(tk)}, {х(tk)}. Математические модели дискретных систем устанавливают взаимосвязь между этими последовательностями. Дискретные автоматические системы управления содержат в своей структуре цифровую (дискретную) и аналоговую (непрерывную) части. Для согласования этих частей в системе используются аналогово-цифровой и цифроаналоговый преобразователи (АЦП и ЦАП). АЦП ставит в соответствие непрерывной функции f(t), t ≥ t0 последовательность {f(tk)}=f(kDt), Dt=const, k = 0, 1, 2,…}, которую называют решетчатой функцией fk. В свою очередь, ЦАП осуществляет преобразование последовательности {fk, k = 0, 1, 2, ...} в некоторую непрерывную функцию, которая является аппроксимацией исходной функции f(t), t ≥ t0. Часто используют кусочно-постоянную аппроксимацию, поэтому такой преобразователь называют экстраполятором, или фиксатором нулевого порядка.
Вопросы для самопроверки:
1) Основные понятия: основные термины математического моделирования; построение моделей; виды моделей; имитационные системы; теория игр; методология моделирования.
2) Математическое описание систем дискретного управления: решетчатые функции; теорема Котельникова-Шеннона; разностные уравнения; дискретизация автономных систем; дискретное z-преобразование; преобразователь непрерывного сигнала в цифровой код; цифровое вычислительное устройство; передаточные функции ЦВУ; частотные характеристики ЦВУ.
3) Модели состояния линейной дискретной системы: математические модели дискретных систем; построение дискретного представления непрерывной системы; операторная форма модели; решение разностных уравнений; установившийся режим; элементарные звенья дискретных систем; элементарные звенья 1-го порядка; элементарные звенья 2-го порядка; устойчивость дискретных систем; качество дискретных систем управления.
Список литературы:
1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. - СПб.: Питер, 2005. - 336 с.
2. Повзнер Л.Д. Теория систем управления: Учебное пособие для вузов. - М.: Изд. МГГУ, 2002. - 472 с.
(-1)n x(k+m-n) m!/[k!(m-n)!].