Выполнение типового расчета

1. Найдем решение первой системы A₁ · X = B₁. Запишем систему в явном виде:

(4.2)

Запишем расширенную матрицу системы и будем делать элементарные преобразования со строками этой матрицы.
~ ~
На первом этапе преобразований в первом столбце, начиная со второй строки, получили, нули. Для этого использовали следующие элементарные преобразования: ко второй строке прибавили первую, к третьей и четвертой строкам прибавили первую, умноженную на ( –3).
~ ~ ~
На втором этапе преобразований получили нули во втором столбце, начиная с третьей строки. Для этого к третьей строке прибавили вторую, умноженную на ( –2), к четвертой cтроке прибавили вторую. Затем получили нули в третьем столбце четвертой строки, прибавив к четвертой строке третью. Для удобства дальнейших действий можно вынести из второй строки ( –1) и из четвертой - ( –2). Чтобы не изменился определитель матрицы A₁, который нам нужно вычислить, вынесенный коэффициент ставим перед матрицей:
2· .
Определитель матрицы, преобразованной к треугольному виду, равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. Это можно показать, если разложить определитель по первому столбцу, получившийся после этого определитель вновь разложить по первому столбцу и т.д.:

Тогда с учетом стоящего перед матрицей коэффициента, |A₁| = 6. Ранг матрицы A₁ равен 4, ранг расширенной матрицы также равен четырем, ледовательно, система имеет единственное решение.

Рассмотрим два метода нахождения решения.
Метод 1. По полученной матрице выпишем преобразованную систему:

из которой последовательно определим значения неизвестных: - (3; –3; –1; 3).
Метод 2. С помощью элементарных преобразований полученную треугольную матрицу коэффициентов приведем к диагональному виду, для этого к третьей строке прибавим четвертую строку, умноженную на 2, ко второй и к первой строкам прибавим четвертую строку. Тем самым в четвертом столбце выше единицы четвертой строки получим нули. Продолжая аналогичные действия, приведем матрицу коэффициентов к диагональному виду:
~ ~ ~ ~
Теперь, разделив первую строку на 3, получаем единичную матрицу коэффициентов
~ 3· .
В выделенном столбце находятся решения исходной системы уравнений, так как полученная расширенная матрица соответствует следующей системе:
x₁ = 3; ­ ­ ­ ­ ­ x₂ = –3; ­ ­ ­ ­ ­ x₃ = –1; ­ ­ ­ ­ ­ x₄ = 3.
Полученное решение необходимо проверить, т.е. подставить в исходную систему (4.2).
Это удобнее всего сделать, введя матрицу решения X₁ = ,
и умножая матрицу A₁ на X₁ справа. Если система решена верно, то результатом будет матрица B₁.
Действительно A₁ · X₁ = = B₁.

2. Запишем вторую систему A₂ · X = B₂ в явном виде:

По условию A₁ = A₂, т.е. вторая система отличается от первой только правыми частями, и главные определители у них равны, |A₁| = |A₂| = 6. Согласно теореме Крамера система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: . Вычислим вспомогательные определители.
Определитель |Δ₁| получается из главного определителя системы |A| заменой первого столбца на столбец правых частей:
; ­ ­ ­ ­ ­ .
Для вычисления этого определителя проведем предварительные преобразования. Преобразуем определитель |Δ₁| так, чтобы в его первой строке на первом месте осталась единица, а на всех остальных местах нули. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный на (–2); к третьему – первый столбец, умноженный на (–1); к четвертому – первый столбец. А затем вычислим полученный определитель разложением его по первой строке:

Получившийся определитель третьего порядка также преобразуем. Вынесем из второго столбца 4, а затем с помощью второго столбца организуем нули на первом и третьем месте первой строки. Для этого к первому столбцу прибавим второй, умноженный на (–13); к третьему столбцу прибавим второй, умноженный на 7. Затем разложим полученный определитель по первой строке и, наконец, вычислим полученный определитель второго порядка:

Следовательно,
Определитель |Δ₂| получается из главного определителя системы |A| заменой второго столбца на столбец правых частей:
|A| = |Δ₂| = .
Преобразуем определитель |Δ₂| так, чтобы в его первом столбце на первом месте осталось число 3, а на всех остальных местах – нули. Для этого ко второй строке прибавим первую строку; к третьей – первую строку, умноженную на (–3); к четвертому – также первую строку, умноженную на (–3). А затем вычислим полученный определитель разложением его по первому столбцу:
|Δ₂| =
Получившийся определитель третьего порядка преобразуем так, чтобы в третьем столбце на последнем месте стоял ноль. Для этого к третьей строке прибавим первую. Затем разложим полученный определитель по третьему столбцу и, наконец, вычислим полученный определитель второго порядка:

Следовательно, .
Определители |Δ₃| и |Δ₄| вычисляем аналогично, преобразуя и затем раскладывая по первому столбцу.


Откуда
Мы получили решение второй системы: или X₂ = .
Сделаем проверку. A₂·X₂ = = B₂.
Следовательно, система решена верно.

3. Проведем исследование третьей системы. Запишем систему A₃ · X = B₃ в явном виде:

(4.3)

Проведем необходимые элементарные преобразования над расширенной матрицей.

Определитель матрицы A₃ равен нулю, ранг матрицы A₃ равен 3 (одна нулевая строка в матрице ступенчатого вида), ранг расширенной матрицы равен 4 (нет нулевых строк). Так как ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы не равны друг другу, то система (4.3) не имеет решения.

4. Рассмотрим четвертую систему. Запишем систему A₄ · X = B₄ в явном виде:

Проведем необходимые элементарные преобразования над расширенной матрицей:
.
Определитель матрицы A₄ равен нулю, ранг матрицы A₄ равен 2, ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Так как ранги матриц равны, то система является совместной; ранг матрицы меньше числа неизвестных, следовательно, система является неопределенной. В преобразованной матрице жирным шрифтом выделен базисный минор. В качестве базисных неизвестных выберем x₁ и x₂ в, качестве свободных – x₃, x₄.
Перепишем полученную систему в виде

и введем x₃ = C₁ є R и x₄ = C₂ є R.
Окончательно получим x₁ = 3 – C₁ + C₂; ­ ­ ­ ­ ­ x₂ = 2 + C₁ + 2C₂.
Решение неопределенной системы удобно записывать в векторном виде, выделяя фундаментальную систему решений однородной и частное решение неоднородной систем.

Для проверки и здесь удобно воспользоваться умножением матрицы A₄ на матрицу X₄, образованную из указанных выше трех векторов.

В полученной матрице первый столбец должен соответствовать вектору правых частей системы B₄, а два других вектора должны быть нулевые, так как соответствующие решения являются решениями однородной системы уравнений.