Так как

, (6)

где S – площадь боковой поверхности цилиндра радиуса r, то для объемной плотности заряда получится следующее выражение:

, (7)

где L – длина рабочей части катода.

Скорость электронов в произвольной точке можно определить из условия

следующим образом:

. (8)

Учитывая осевую симметрию электродов и такую же геометрию электрического поля в диоде (рис.5), запишем уравнение Пуассона (4) в цилиндрической системе координат через переменные r,j, z

. (9)

В этом уравнении производная по j равна нулю в силу осевой симметрии поля, а производная по z равна нулю, исходя из сделанного выше допущения о длинных цилиндрических электродах (п.1). С учетом сказанного уравнение (9) будет уравнением одной переменной r.

Подставим выражения (7) и (8) в уравнение (9), получим следующее дифференциальное уравнение:

, (10)

где . (11)

Будем искать потенциал V, удовлетворяющий уравнению (10), в виде

, (12)

где D и a – некоторые постоянные, пока неизвестные. Подставим выражение (12) в уравнение (10), получим

.

Сравнивая показатели степени переменной r и коэффициенты, стоящие в той и другой частях равенства, найдем, что

.

Таким образом, выражение потенциала V как функции r – расстояния от оси коаксиальных электродов имеет вид

. (13)

Если принять r=R (R – радиус анода), то из выражения (13) можно получить зависимость тока диода I от напряжения между его электродами U, которое в данном случае совпадает со значением потенциала анода

. (14)

Итак, получен «закон трех вторых». Теоретическая вольт-амперная характеристика диода, соответствующая этому закону, изображается кривой 6 (см. рис.2).

Аналогичным образом получается расчетная формула для анодного тока в случае диода с плоскими электродами [1].

Список рекомендуемой литературы

1. Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 1985. §157, 158.

2. Лабораторные занятия по физике /Под ред. Л.Л.Гольдина. М.: Наука, 1983. С. 283.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн.5: Квантовая оптика. Физика твердого тела. М.: Наука, 1998. §9.2.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.3. М.: Наука, 1979. §101.

5. Физический практикум: Электричество и оптика /Под ред. В.И.Ивероновой. М.: Наука, 1968. С. 59.

[1] Ленгмюр Ирвинг (1881-1957) – американский физик и химик.