Здесь - мнимая единица (на комплексной плоскости умножение на «j» сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол 90o , а умножение на «-j» - к повороту вектора на 90o по часовой стрелке).
Формулы переходов из алгебраической формы комплексного числа в показательную и обратно дают возможность легко проводить расчеты в комплексных выражениях, например:
Мощность в цепях однофазного тока
Формула полной мощности определяет соотношение всех мощностей:
,
где: S - полная мощность цепи;
P - активная мощность цепи;
Q - реактивная мощность цепи.
В комплексной форме формула приобретает вид:
,
где: - комплексно сопряженный ток.
Например, если ток в комплексной форме представлен формулой , то сопряженный комплекс будет . Для тока комплексно сопряженным является ток
Построение векторных диаграмм
В основном векторные диаграммы строятся на комплексной плоскости и бывают двух типов:
- векторные диаграммы токов и напряжений;
- векторные топографические диаграммы напряжений.
Все векторные диаграммы строятся в масштабе, как для токов, так и для напряжений. На комплексной плоскости оси координат обозначаются+1 и +j. Последовательность построения диаграмм зависит от схемы соединения электрической цепи. В любом случае первым откладывается вектор тока или напряжения, который является общим для возможно большего количества элементов цепи или ее части. Например, если элементы цепи R, L, C соединены последовательно, рис. 2.1 а, то «опорным» в диаграмме является вектор тока, как общий для всех элементов. Далее строятся векторы напряжений с учетом сдвига фаз между током и напряжениями на элементах (рис. 2.1 б). Геометрическая сумма векторов напряжений должна быть равна вектору напряжения, приложенному к электрической цепи.
а)
б)
Рисунок 2.1 - Электрическая цепь при последовательном соединении R, L, C элементов: а) схема; б) векторная диаграмма напряжения и токи
Если элементы цепи R, L, C соединены параллельно (рис. 2.2 а), то «опорным» в диаграмме является вектор напряжения, как общий для всех элементов. Далее строятся векторы токов с учетом сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях цепи (рис. 2.2 б). Геометрическая сумма векторов токов в ветвях должна быть равна общему току в электрической цепи.
а)
б)
Рисунок 2.2 - Электрическая цепь при параллельном соединении R, L, C элементов
а) схема; б) векторная диаграмма токов и напряжений
Топографическая диаграмма напряжений представляет собой диаграмму комплексных потенциалов точек электрической цепи, отложенных в определенном порядке. Потенциал одной из точек принимается равным нулю и далее возможны два варианта построения:
-относительно этого потенциала рассчитываются потенциалы остальных точек;
-от этой точки откладываются модули напряжений на элементах с соответствующими углами сдвига фаз.
Порядок построения топографической диаграммы виден на простом примере (рис. 2.3 а и б)
а)
б)
Рисунок 2.3 - Схема электрической цепи (а) и соответствующая ей топографическая диаграмма (б)
В электрических цепях со смешанным соединением элементов топографическая диаграмма напряжений обычно строится в несколько этапов. При этом сначала строятся диаграммы для отдельных ветвей цепи, что предполагает наличие векторной диаграммы токов для всей цепи, а потом объединяются в общую топографическую диаграмму.
Расчет сопротивлений
Обычно сопротивления задаются, как в явной форме R = 5 Ом, так и в виде индуктивностей и емкостей L = 19,1 мГн или С = 99,5 мкФ. В случае индуктивных и емкостных сопротивлений расчет ведется следующим образом:
где f = 50 Гц.
Методы и примеры расчета электрических цепей однофазного тока
Цель занятия:
1. Научиться переходить от одной формы представления синусоидальных функций к другой.
2. Научиться применять комплексную форму изображения синусоидальных функций для анализа простейших цепей синусоидального тока.
3. Найдем эквивалентное комплексное сопротивления параллельных ветвей (рис. 2.5 а):
а)
б)
Рисунок 2.5 - Схемы демонстрирующие метод преобразования
Полное комплексное сопротивление всей цепи синусоидального тока (рис. 2.5 б):
4. Определим комплексные токи в ветвях по закону Ома:
- ток в неразветвленной части цепи (рис. 3.5 б):
из полученного выражения следует, что действующее значение тока в цепи
I = 45,18 А
и он от стает по фазе от напряжения на угол
φ = 48,3.
- токи в параллельных ветвях (рис. 2.4 б):
напряжение на участке цепи определим (рис. 3.5 а) по формуле
тогда
Комплексы действующих значений токов I2 и I3 можно вычислить другим путем, для этого воспользуемся формулами для определения токов в пассивных параллельных ветвях:
5. Определим показаний ваттметра:
Зная комплекс полного эквивалентного сопротивления цепи, можно рассчитать полную, активную и реактивную мощности цепи:
- полная мощность цепи
- активная мощность цепи
- реактивная мощность цепи
6. Построение векторной диаграммы токов и топографической диаграммы напряжений.
Определим основные уравнения цепи, данные, расчеты и правила построения диаграммы:
- уравнения
- данные
- расчеты
- правила:
1) выбираем масштаб по току и напряжению 3 A/дел и 10 В/дел;
2) чертим векторы токов в ветвях цепи и находим геометрическую сумму этих токов, которая должна быть равна вектору общего тока.
3) чертим векторы всех напряжений по точкам на схеме и находим геометрическую сумму этих напряжений, которая должна быть равна вектору напряжения источника питания.
Рисунок 2.6 - Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений
, 
, 
А; 
В; 
В
,
,
- мнимая единица (на комплексной плоскости умножение на «j» сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол 90o , а умножение на «-j» - к повороту вектора на 90o по часовой стрелке).
,
,
- комплексно сопряженный ток.
, то сопряженный комплекс будет 
. Для тока 
комплексно сопряженным является ток 
