Решение.

Тождество доказано.

Определение 4. Дополнительным минором к элементу определителя n-го порядка (1), называется определитель порядка , получаемый из исходного, вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Обозначение: .

Например, для определителя дополнительным минором к элементу является определитель , а дополнительным минором к элементу является определитель .

Определение 5. Алгебраическим дополнением к элементу определителя n-го порядка (1), называется число, определяемое по правилу: .

Обозначение: .

В частности, для определителя , рассмотренного выше, алгебраическим дополнением к элементу является число , а алгебраическим дополнением к элементу является число .

Теорема 10.Сумма произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения к ним равна величине определителя:

Доказательство. Проведите самостоятельно.

Следствие 8.Сумма произведений элементов любого столбца определителя на алгебраические дополнения к ним равна величине определителя:

Доказательство . Проведите самостоятельно.

Замечание. Теорема 10 и следствие 8 дают основное практическое правило для вычисления определителей порядка , которое называется методом разложения по элементам строки или столбца определителя:

(10)

(11)

Пример 5. Вычислите определитель .

Решение.

1 способ. Воспользуется методом разложения по элементам первой строки.

.

Очевидно, что выбор столбца или строки, по которым ведется разложение, в данном случае не имеет принципиального различия, так среди элементов нет нулевых, и при любом выборе расчет сведется к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2 способ. Предварительно преобразуем исходный определитель, а точнее добьемся того, чтобы все элементы в третьем столбце за исключением одного оказались равными нулю. Для чего к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (-2) и затем к элементам четвертой строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (-1). Согласно теореме 9 величина определителя при этом не изменится. Запишем расчеты, выполняя указанные действия последовательно.

В получившемся определителе среди элементов третьего столбца только один отличен от нуля, поэтому для дальнейших расчетов разумно воспользоваться методом разложения по элементам третьего столбца.

.

Замечание. Правило вычисления определителей методом разложения по элементам строки или столбца позволяет получить особую формулу для вычисления определителей треугольного вида.

Следствие 9.

. (12)

(величина определителя треугольного вида равна произведению элементов, стоящих на главной диагонали).

Доказательство. Данное утверждение легко доказать, опираясь на метод математической индукции.

1 шаг. Проверим основание для проведения индукции.

.

.

2 шаг. Предположим, что формула верна при , т.е.

.

3шаг. Докажем, что формула остается в этом случае справедливой и для . Применяя к определителю порядка метод разложения по элементам последней строки и учитывая, что в этой строке все первые k элементов равны нулю, получаем

,

т.е. формула сохраняет свой вид. Утверждение доказано.

Следствие 10.Величина определителя единичной матрицы любого порядка равна 1.

Доказательство. Проведите самостоятельно.

Замечание. Следствие 9 дает еще один алгоритм вычисления определителей порядка : определитель, используя возможность преобразования элементов, нужно предварительно привести к треугольному виду, а затем воспользоваться формулой (12).

Пример 6.Вычислите определитель .