Сущность данного метода заключается в том, что на первом шаге вычислений из точки начального приближения х0 восстанавливается перпендикуляр до пересечения с графиком функции f(x).Из точки пересечения проводится касательная к графику y = f(x).Точка пересечения касательной с осью абсцисс служит точкой следующего приближения (рис. 14). Для инициализации вычислительного процесса достаточно задать некоторое начальное приближение корня x = х0.
Рис. 13. Графическая схема алгоритма метода половинного деления
Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х0 выбирается тот из концов отрезка [а, b], для которого справедливо условие: f(х0)∙f ²(х0) > 0. Это условие сходимости метода Ньютона.
Уравнение касательной, проведенной к графику y = f(x) через точку В0 с координатами х0 и f(х0), имеет вид:
. (1)
Отсюда найдем следующее приближение корня х1 как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох (y = 0):
(2)
Рисунок 1. Метод Ньютона
|
Рис. 14. Геометрическая интерпретация метода Ньютона
Запишем формулу (2) в общем виде:
. (3)
Формула (3) - итерационная формула рекуррентного процесса.
Алгоритм, реализующий метод Ньютона, представлен на рис. 15.
