РАЗДЕЛ 1. Теория множеств. Элементы теории нечетких множеств. Нечеткие алгоритмы.
1. Множество. Элемент множества. Подмножество: собственное и несобственное. Разбиение и покрытие множества. Подмножества в программном коде. Способы задания множеств (перечисление, характеристический предикат, порождающая процедура). Операции над множествами: дополнение, пересечение, объединение, разность, кольцевая сумма – определения, диаграммы Эйлера, характеристические предикаты, программный код.
2. Свойства операций над множествами (идемпотентность, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, поглощение, инволютивность, законы де Моргана, законы пустого множества и универсума) и их доказательство методами: взаимного включения, построения характеристических предикатов, на диаграммах Эйлера.
3. Мощность конечного множества. Булеан множества. Булеан в программном коде. Мощность булеана конечного множества – теорема с доказательством.
4. Натуральный ряд чисел. Счетные множества. Теорема о несчетности отрезка [0,1] – теорема с доказательством.
5. Континуальные множества. Установление континуальности множества всех действительных чисел.
6. Декартово произведение множеств. Декартова степень множества. Мощность прямого произведения конечных множеств. N-местное отношение. Соответствие. Область прибытия соответствия, область отправления соответствия, график соответствия. Способы задания соответствий (графический, матричный). Тождественное, универсальное и пустое соответствия и их матрицы.
7. Операции над соответствиями (объединение, дополнение, пересечение, обращение, композиция) – определения, матричное представление, свойства.
9. Свойства соответствий (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, несимметричность, транзитивность) – определения, методы проверки (по определению и по матрице).
10. Соответствия эквивалентности и порядка. Классы эквивалентности. Наибольший и наименьший, максимальный и минимальный элементы, нижняя и верхняя границы упорядоченного множества. Полный порядок, частичный порядок, строгий и нестрогий порядок. Диаграмма Хассэ.
11. Свойство функциональности, образ, прообраз, операции. Типы функций. Обратные функции.
12. Нечеткие множества. Операции над нечеткими множествами (объединение, пересечение, дополнение): максиминные, алгебраические, ограниченные. Диаграммы. Свойства операций разного типа.
13. Носитель нечеткого множества. Высота. Нормальное и субнормальное нечеткие множества. Нормализация. Множество уровня α. Точка перехода. Четкое множество, ближайшее к нечеткому.
17. Транзитивное замыкание нечеткого отношения. Теорема о транзитивном замыкании. Свойства, сохраняющиеся при транзитивном замыкании.
18. Проекции нечетких отношений. Условные проекции первого и второго типов. Независимость проекций по первому и второму типам.
19. Основные определения и понятия теории нечетких алгоритмов.
20. Способы выполнения нечетких алгоритмов.
21. Представление нечеткого алгоритма в виде графа.
22. Нечеткие цели, ограничения и решения.
23. Основные задачи нечеткого математического программирования.
24. Модели нечеткой ожидаемой полезности.
25. Игры в нечетко определенной обстановке.
26. Многошаговые процессы принятия решения.
27. Особенности контроля и управления в условиях стохастической неопределенности.
28. Контроль и управление динамическими системами в нечетких условиях.
РАЗДЕЛ 2. Комбинаторика.
29. Комбинаторные конфигурации. Модели комбинаторных конфигураций. Правило суммы. Правило произведения. Формула включений и исключений.
30. Наиболее встречающиеся комбинаторные конфигурации и методы их подсчета: размещения с повторениями, размещения без повторений, перестановки без повторений, перестановки внутри мультимножества, сочетания без повторений, сочетания с повторениями.
31. Бином Ньютона (вывод методом математической индукции).
32. Свойства биномиальных коэффициентов: , , , , , (с выводом).
33. Рекуррентные соотношения. Решение рекуррентного соотношения. Линейные соотношения. Решение линейных однородных и неоднородных соотношений.
РАЗДЕЛ 3. Логические исчисления.
34. Унарные и бинарные функции алгебры логики. Приоритет операций в формулах. Существенная и фиктивная переменные функции.
35. Основные эквивалентности булевых функций (идемпотентность, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, поглощение, инволютивность, законы де Моргана, законы нуля и единицы). Равносильные формулы, выполнимая формула, опровержимая формула, тавтология, противоречие.
36. Двойственность булевых функций, свойства двойственности, принцип двойственности (доказательство).
37. ДНФ. КНФ. Теорема о построении ДНФ и КНФ.
38. СДНФ. СКНФ. Алгоритм приведения формулы в СДНФ и СКНФ путем аналитических преобразований.
39. Теоремы Шеннона (о первом и втором разложениях - доказательство).
40. Теорема о количестве ДНФ для одной функции. Булев куб, грани куба. Представление функции на кубе, единичный интервал и соответствующие ему импликанты. Максимальный единичный интервал. Простая импликанта.
48. Методы доказательств тавтологий и логических следствий: конструктивный, Квайна, редукции, Вонга, резолюций.
49. Предикат. Местность предиката. Тождественно-истинные, тождественно-ложные, выполнимые и опровержимые предикаты. Множество истинности предиката.
50. Операции над предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Множества истинности результатов операций.
51. Операции связывания кванторами общности и существования.
52. Определение алгебры предикатов. Замкнутые и открытые формулы. Интерпретация формул.
53. Теорема1 – о связи тавтологий алгебры высказываний и алгебры предикатов. Теорема 2 – о переносе отрицания через кванторы (доказательство методом конкретизации и на основе определений кванторов).
54. Теорема 3 – перенесение кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию (доказательство методом конкретизации и на основе определений кванторов).
55. Теорема 4 – правила перестановки кванторов (доказательство методом конкретизации и на основе определений кванторов)
56. Теорема 5 – перенесение кванторов через импликацию (доказательство методом конкретизации и на основе определений кванторов).
57. Приведенная форма формулы логики предикатов. Теорема о ее построении (алгоритм).
58. Предваренная нормальная форма формулы логики предикатов. Теорема о ее построении (алгоритм).
59. Сколемовская стандартная форма формулы логики предикатов. Правила ее построения.
60. Унификация множества литералов. Бинарная резольвента. Алгоритм метода резолюций в логике предикатов.
РАЗДЕЛ 4. Графы.
61. Граф. Вершина графа, ребро графа, геометрическая реализация графа. Теорема о реализации графа в трехмерном пространстве (доказательство).
62. Смежные вершины, смежные ребра, инцидентность, кратные ребра, мультиграф. Орграф, Путь, цепь, простая цепь, простой цикл, петля, псевдограф. Связный граф, компонента связности, изоморфные графы. Степень вершины графа, полустепени захода и исхода. Лемма о рукопожатиях.
63. Способы задания графов: структура смежности, матрица смежности, матрица инцидентности их особенности для орграфов и мультиграфов.
64. Операции над графами (добавление вершины, удаление вершины, добавление ребра, удаление ребра, подразделение ребра, дополнение графа, объединение графов, пересечение графов, кольцевая сумма, соединение, произведение, композиция графов, часть графа и подграф).
65. Дерево. Лес. Остов графа. Ветви, хорды. Цикломатическое число графа. Алгоритмы поиска в глубину и в ширину.
, 
, 
, 
, 
, 
(с выводом).